资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2022·山东济南期末){an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于( )
A．40 B．200
C．400 D．20
解析：选C.S20－2S10＝－2×
＝10(a20－a10)＝100d.
又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4.
∴S20－2S10＝400.
2．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解析：选C.由题意得an＝1＋2n－1，
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1，故选C.
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
解析：选C.设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.
4．(2022·江南十校联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 014＝( )
A.－1 B.－1
C.－1 D.＋1
解析：选C.由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，
则f(x)＝x.
∴an＝＝＝－，
S2 014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
5．(2022·北京东城调研)已知函数f(n)＝n2cos nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．0 B．－100
C．100 D．10 200
解析：选B.f(n)＝n2cos nπ＝
＝(－1)n·n2，
由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.
二、填空题
6．(2022·广东广州市调研测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＋a5＝12，则S7的值为________．
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＋a4＋a5＝12得a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝12，即3a1＋9d＝12，化简得a1＋3d＝4，故S7＝7a1＋d＝7(a1＋3d)＝7×4＝28.
答案：28
7．若数列{an}是首项、公差都为1的等差数列，则数列{}的前n项和为________．
解析：由题意可知an＝n，
则＝＝(－)，
所以前n项和为(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)
＝(－－)．
答案：(－－)
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
三、解答题
9．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：
(1)p，q的值；
(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3.
又由于x4＝24p＋4q，
x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，
解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)，知xn＝2n＋n，
所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)
＝2n＋1－2＋.
10．(2022·广东惠州调研)已知向量p＝(an,2n)，向量q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，向量p与q垂直，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.
解：(1)∵向量p与q垂直，
∴2n＋1an－2nan＋1＝0，即2nan＋1＝2n＋1an，
∴＝2，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝log2an＋1＝n－1＋1＝n，∴an·bn＝n·2n－1，
∴Sn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①
∴2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
①－②得，
－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝1＋(n－1)2n.
[力气提升]
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝( )
A．6n－n2 B．n2－6n＋18
C. D.
解析：选C.∵由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，∴Tn＝
2．(2022·山东济南模拟)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于( )
A．76 B．78
C．80 D．82
解析：选B.由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.
二、填空题
3．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.
则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
4．(2022·山西晋中名校高三联合测试)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 014＝________.
解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，所以S2 014＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＋a2 014＝503×(－2)＋1＋(－2)＝－1 007.
答案：－1 007
三、解答题
5．(2022·武汉市高三模拟考试)在等差数列{an}中，已知a1＝1，公差d为整数，且满足a1＋3＜a3，a2＋5＞a4，数列{bn}满足bn＝，其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S2为S1与Sm(m∈N*)的等比中项，求m的值．
解：(1)由题意，得解得＜d＜.
又d∈Z，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)∵bn＝＝
＝.
∴Sn＝
＝＝.
∴S1＝，S2＝，Sm＝.
∵S2为S1与Sm的等比中项．
∴S＝S1Sm，即2＝·，解得m＝12.
6．(选做题)(2022·襄阳调研)已知数列{an}，假如数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”．
(1)若数列{an}的通项为an＝n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}的通项为cn＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；
(3)已知数列{dn}的通项为dn＝2n＋n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.
解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，
当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，
∴bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)qn＝
当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4，
∴此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列．
当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列．
(3)pn＝
当n>1时，Tn＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n－1＋2n－1)，
∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2n＋n2－4.
又n＝1时，T1＝3，适合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4.
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