资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2021·高考四川卷) 如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B
C．C D．D
解析：选B.设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点．
2．(2022·黄冈中学高三模拟考试)纯虚数z满足|z－2|＝3，则z为( )
A.i B．±i
C．－i D．5或－1
解析：选B.设z＝bi(b∈R)，则＝3，解得b＝±，则z＝±i.
3．若复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．0
解析：选B.z＝＝，假如复数z在复平面内对应的点落在虚轴上，则a－2＝0，即a＝2，故选B.
4．(2022·襄阳市高三调研统一测试)设复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i，则复数z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．i D．－i
解析：选A.由已知得＝＝＝－1＋i，故z＝－1－i.
5．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝( )
A．－5 B．－3
C．3 D．5
解析：选A.z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5，故选A.
二、填空题
6．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，
故||＝＝2.
答案：2
7．(2022·河北教学质量检测)已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，m＝________.
解析：－＝－＝－＝，由已知得m＝1－m，则m＝.
答案：
8．(2022·江苏南通调研)若i是虚数单位，设＝a＋(b＋1)i(a，b∈R)，则复数z＝a＋bi在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：依据复数的运算法则，有＝＝a＋(b＋1)i，
依据题意，有a＝，b＋1＝，b＝－.
则复数z＝a＋bi在复平面内对应的点即(a，b)位于第四象限．
答案：四
三、解答题
9．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋＝－1.
(4)＝
＝＝
＝－－i.
10．已知复数z的共轭复数是，且满足z·＋2iz＝9＋2i.
求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∵z·＋2iz＝9＋2i，
∴(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，
∴
由②，得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0.
解得b＝－2或b＝4.
∴z＝1－2i或z＝1＋4i.
[力气提升]
一、选择题
1．设f(n)＝()n＋()n(n∈Z)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．很多个
解析：选C.f(n)＝()n＋()n＝in＋(－i)n，f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
∴集合中共有3个元素．
2．(2021·高考陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：选D.A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题；
B，z1＝2⇒1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2⇒|z2|2⇒z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，明显z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
二、填空题
3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，
依据＝λ＋μ，
得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得
∴λ＋μ＝1.
答案：1
4．已知复数z＝1－i，则＝________.
解析：＝＝z－1－＝(－i)－＝－i－＝－2i.
答案：－2i
三、解答题
5．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
依据条件，可知，解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
6．(选做题)设z∈C且|z|＝1，但z≠±1，推断是不是纯虚数，并说明理由．
解：是纯虚数．证明如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1，得a2＋b2＝1，
∴＝
＝
＝＝i.
由|z|＝1且z≠±1，得a≠±1，b≠0，
∴为纯虚数．
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