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[基础达标]
一、选择题
1．(2022·湖北三校联考)已知数列{an}为等比数列，且a4·a6＝2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5＝2a5，则S9＝( )
A．36 B．32
C．24 D．22
解析：选A.由a4·a6＝2a5，得a＝2a5，即a5＝2，所以b5＝4，S9＝＝9b5＝36.
2．若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度后，火箭与飞船分别，则这一过程需要的时间是( )
A．10秒钟 B．13秒钟
C．15秒钟 D．20秒钟
解析：选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度．由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋×2＝240，
即x2＋x－240＝0，解得x＝15或x＝－16(舍去)．
3．已知实数等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
A．35 B．33
C．31 D．29
解析：选C.由a2·a3＝a1·a4＝2a1，得a4＝2.
又a4＋2a7＝，∴a7＝.
设等比数列{an}的公比为q，则a7＝a4q3，
∴q3＝，∴q＝，a1＝16，
∴S5＝＝31.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}( )
A．确定是等差数列
B．确定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不行能是等差数列，也不行能是等比数列
解析：选C.∵Sn＝an－1(a≠0)，
∴an＝，即an＝.当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．
5．在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于( )
A．6 B．7
C．6或7 D．8
解析：选C.该程序框图的实质是输出以a1＝64为首项，为公比的等比数列{an}的前n项的乘积Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…，15)，由于a7＝1，所以在Tn(n＝1,2，…，15)中，T6＝T7且最大．
二、填空题
6．夏季山上的温度从山脚起，每上升100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，则此山相对于山脚处的高度是________米．
解析：∵每上升100米温度降低0.7 ℃，
∴该处的温度变化是一个等差数列问题．
山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，d＝－0.7.
∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解之可得n＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．
答案：1 600
7．(2022·荆州市高中毕业班质量检测)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝2am，则m＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9，即S3＋S3(1＋q3)＝2S3(1＋q3＋q6)，即S3(q3＋2q6)＝0，易知S3≠0，所以q3＋2q6＝0，得q3＝－，故a2＋a5＝a2(1＋q3)＝2a2×＝2a2q6＝2am，则am＝a2q6，又明显q≠1.所以m＝8.
答案：8
8．设Sn是数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．
解析：数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以＝4，因此数列{bn}是“和等比数列”．
答案：是
三、解答题
9．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，
∴Tn＝－bn＋1.①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)，②
①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，
∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1.
令n＝1，得b1＝－b1＋1，
∴b1＝.
∴{bn}是一个以为首项，为公比的等比数列．
10．(2022·宜昌市高三模拟)“宜昌梦，大城梦”，当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造．已知旧城区的住房总面积为64a(单位：m2)，每年拆除的面积相同；新区方案用十年建成，第一年新建设的住房面积为2a m2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开头，每年新建设的住房面积比上一年削减2a m2.
(1)若10年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好比当前的住房总面积翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少？
(2)设第n年(1≤n≤10，n∈N*)新区的住房总面积为Sn，求Sn.
解：(1)10年后新城区的住房总面积为
2a＋4a＋8a＋16a＋14a＋12a＋10a＋8a＋6a＋4a＝84a.
设每年旧城区拆除的数量是x，则84a＋(64a－10x)＝2×64a，解得x＝2a.
即每年旧城区拆除的住房面积是2a m2.
(2)设第n年新城区的住房建设面积为an，
则an＝，
所以当1≤n≤4时，Sn＝2(2n－1)a；
当5≤n≤10时，Sn＝2a＋4a＋8a＋16a＋14a＋…＋2(12－n)a
＝30a＋＝(23n－n2－46)a.
故Sn＝.
[力气提升]
一、选择题
1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
解析：选D.依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又由于an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
2．将石子摆成如图的梯形外形，称数列5,9,14,20，…为梯形数，依据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( )
A．2 020×2 014 B．2 020×2 013
C．1 010×2 014 D．1 010×2 013
解析：选D.结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2，所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝4×2 013＋＝2 013×1 010.故选D.
二、填空题
3．设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 014项和为________．
解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，故数列{bn}是周期为6的周期数列．又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2 014项和S2 014＝b1＋b2＋b3＋b4＝1－2－3－1＝－5.
答案：－5
4．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．
下列是对“等方差数列”的推断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列；
③{(－1)n}是等方差数列；
④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝，则数列{an}是等方差数列，但数列{a}不是等方差数列，故②错．对于③，由于[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)，则a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，故④正确．
答案：①③④
三、解答题
5．(2022·四川成都市诊断性检测)设函数f(x)＝x2，过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*.
(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
(2)设直线ln与函数g(x)＝logx的图象相交于点Bn，记bn＝n·n(其中O为坐标原点)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)证明：以点An－1(an－1，a)(n≥2)为切点的切线方程为y－a＝2an－1(x－an－1)．
当y＝0时，得x＝an－1，即an＝an－1.
又∵a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
∴通项公式为an＝()n－1.
(2)据题意，得Bn(()n－1，n－1)．
∴bn＝n·n＝()n－1＋()n－1·(n－1)＝n()n－1.
∵Sn＝1×()0＋2×()1＋…＋n×()n－1，
Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋n×()n，
两式相减，得Sn＝1×()0＋1×()1＋…＋()n－1－n×()n＝－n×()n.
化简，得Sn＝－(＋)×()n＝－.
6．(选做题)(2022·武汉市高三供题训练)已知数列{an}的各项均为正数，记
A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，
C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
解：(1)对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，
即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.
故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)证明：①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.
由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是
＝＝＝q，
＝＝＝q，
即＝＝q，所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
(2)充分性：若对于任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，
则B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)，
于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2
＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－a1.
由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，从而an＋2－qan＋1＝0.
由于an＞0，所以＝＝q，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
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