辽宁省葫芦岛市2021届高三第二次模拟考试-数学(文)扫描版含答案.docx

2021年葫芦岛市其次次模拟考试
数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一.选择题:每小题5分,总计60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
A
C
C
A
D
B
A
B
A
二.填空题:每小题5分,总计20分.
13.
14. -2
15.
16.4
三.解答题:
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=(a+b)2-2ab(1+cosC),
又a+b=6,c=2,cosC=, 所以ab=9,解得a=3,b=3.………………………………………………………6分
(Ⅱ)在△ABC中,sinC==,
由正弦定理得sinA= =,
由于a=c,所以A为锐角,所以cosA==
因此 sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC=. ………………………………………………12分
8．（本小题满分12分）
(1)证明：（法一）在等边三角形ABC中,AM=AN ∴=
∴在折叠后的三棱锥A-BPC中也成立,∴MN∥BC ∵MNË平面BPC,BCÌ平面BPC ,
∴MN∥平面BPC; ……………………………………………………………4分
（法二）在等边三角形ABC中,AM=AN ∴= ∴MN∥BC
∴在折叠后的三棱锥A-BPC中也成立,∴MQ∥BP，NQ∥CP
∴平面MQN∥平面BPC 又∵MNÌ平面MQN
∴MN∥平面BPC……………………………………………………………………………8分
（2）在等边三角形ABC中,P是BC的中点,所以AP⊥BC,BP=CP=1.
在三棱锥A-BPC中,BC=,∴BC2=BP2+CP2 ∴CP⊥BP
∵BP∩CP=P ∴CP平面ABP
(3)由(1)可知QN∥CP,结合(2)可得QN⊥平面MQP.
∴VP-MNQ=VN-MPQ=··QM·QP·NQ =····=……………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）P=== ∴某同学被抽到的概率为………………2分
设有x名男同学，则=，∴x=3男、女同学的人数分别为………………4分
（2）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本大事有共种，其中有一名女同学的有种
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为………………………8分
（3)==51，==51
s12===3.2，
s12===4
第一同学的试验更稳定………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：（1）∵l与x轴垂直 ∴l的方程为：x=c 代入椭圆方程得：y=± ∴四边形A1MA2N面积:2××2a×=2b2=2 ∴解得：b2=1 ………………①
||=a+c, ||=,||=a-c ∵||=||+|| ∴a+c=·+ a-c
即：ac= ………………② 联立①②解得：a=,b=1
∴椭圆的方程为：+y2=1 ……………………………5分
(2)由（1）可知⊙O的方程为：x2+y2=1,∵直线l:y=kx+m与⊙O相切∴=1即：m2=k2+1………6分
联立方程组： 消元整理得：(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0………………③
△=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=8(2k2+1-m2)>0 即k2>0
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1,x2是方程③的两个解，由韦达定理得：x1+x2=,x1x2=
y1y2=(kx1+m)(kx1+m)= ………………………………………………………………………………8分
·=x1x2+y1y2=+==l 将m2=k2+1代入得：=l
∵lÎ[,] ∴≤≤ 解得：≤k2≤1……………………………………………………………9分
|PQ|=·=· d=1
∴S△POQ=·|PQ|·d=·= ……………④ …………………………10分
令t=2k2+1,则k2= 代入④得：S△POQ===
∵≤k2≤1 ∴2≤t≤3 ≤≤ ≤ (1-)≤
∴≤S△POQ≤
即△POQ的面积S的取值范围是[,]……………………………12分
(求面积的最值时可以有多种方法，考生用其他方法请酌情赋分）
21. (本小题满分12分)
解：（1）f′(x)=+ax+1 由题意：f′(1)=-1 即2a+1=-1 ∴a=-1
f(x)=-lnx-x2+x f(1)= 切点（1，）在切线上 ∴b=-
(2)∵f(x)在（0，+∞）上单调递减 ∴f′(x)=+ax+1≤0在xÎ（0，+∞）时恒成立
即a≤-在xÎ（0，+∞）时恒成立 ∵x+≥2 ∴0<≤ ∴-Î[-,0)
∴a≤- ……………………………4分
∵假设存在符合条件的a值，则应有：a≤- ∴<0 此时g(x)的对称轴为：x=-
若使g(x)在(0,)上单调递增，应有：-≥ 解得：a≥-
综上，存在存在实数a=-使得f(x)在（0，+∞）上单调递减，g(x)在(0,)上单调递增。………………8分
（3）H(x)=aln(1+x)+x2+ln
H′(x)=+2x=
令j(x)=2x2+2x+a,由题意：令j(x)=0有两个大于-1的根x1,x2
∴应有△=4-8a>0,j(-1)=a>0,->-1 ∴0<a<
由韦达定理得：x1+x2=-1,x1x2= ∴x1=-1-x2,a=2x1x2=-2x2(1+x2)
又x2=Î(-,0)
H(x2)=aln(1+x2)+x22+ln=-2x2(1+x2)ln(1+x2)+x22+ ln
令t(x)= -2x(1+x)ln(1+x)+x2+ ln(xÎ(-,0))
则t′(x)=(-4x-2)ln(1+x)++2x=-2(2x+1)ln(1+x)
∵xÎ(-,0) ∴2x+1>0,ln(1+x)<0 ∴t′(x)>0
∴t(x)在(-,0)上单调递增
∴t(x)>t(-)=-2×(-)××ln++ln=
即t(x)>
∴H(x2)=t(x2)> ………………12分
A
B
D
C
E
O
F
G
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
(1)由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,
又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC. …………5分
(2)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=.
设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
∴CF⊥BF, ∴Rt△BCF的外接圆半径等于，S=4pr2=3p …………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)由点在直线上,可得
所以直线的方程可化为
从而直线的直角坐标方程为 …………………………5分
(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为
所以圆心为,半径
∴圆心到直线的距离,所以直线与圆相交…………………………10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（1）当a=1时，f(x)=|2x-1|+x-5=
由解得：x≥2; 由解得：x≤-4
∴f(x)≥0的解集为：(-∞,4]È[2,+∞) …………………………5分
(2)由f(x)=0得：|2x-1|=-ax+5
作出y=|2x-1|和y=-ax+5的图象，由图象可知：当-2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f(x)有两个具不同的零点。
∴a的取值范围是(-2,2) …………………………10分