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第九章 第五节
一、选择题
1．(2022·长春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.
2．已知椭圆的一个焦点为F(0,1)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．x2＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案] D
[解析] 由已知，c＝1，∵e＝＝，
∴a＝2，∴b＝＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，故选D．
3．(文)(教材改编题)假如方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(0,1]
[答案] A
[解析] 方程可化为＋＝1，焦点在y轴上，则有>2，即k<1，又k>0，∴0<k<1.
(理)设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A．∪ B．
C． D．
[答案] C
[解析] 化为＋＝1，
∴－>>0，故选C．
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.
5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，
故cos60°＝＝＝，
解得＝，故离心率e＝.
6．(2022·全国大纲高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 本题考查了椭圆的定义，离心率的计算，依据条件可知＝，且4a＝4，得a＝，所以c＝1，b2＝2，故C的方程为＋＝1.
二、填空题
7．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m＝________.
[答案] 或
[解析] e2＝＝1－，则1－＝或1－＝，解得m＝或m＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 本题主要考查椭圆的定义及几何性质．
依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
[答案]
[解析] ∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1.
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
∴故||min＝2，∴||min＝.
三、解答题
10．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
[解析] 由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
由＝2，得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
一、选择题
1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0<m<n)，
联立方程组：，消去x得：
(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，
Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得：
3m＋n＝16mn，即：＋＝16.
又c＝2，焦点在x轴上，故－＝4，
联立解得：，故长轴长为2.
2．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本题考查了椭圆离心率的求法．
依据＋＝1可得F1(－c,0)，P(－c，)，故OP与AB的斜率分别是kOP＝－，kAB＝－，依据OP∥AB得－＝－，即b＝C．
由于a2＝b2＋c2，即a2＝2c2，故e＝＝.
二、填空题
3．(2022·安徽高考)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，
∴c2＋＝1，
又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，
又∵|AF1|＝3|BF1|，
∴B点坐标为(－c，－b2)，
代入椭圆方程得，
∴方程为x2＋y2＝1.
4．(文)(2022·江西高考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
[答案]
[解析] 本题是椭圆综合性质的考查，∵AB⊥x轴，不妨设A(c，)，B(c，－)，又∵D是F1B与y轴的交点，可求得D(0，－)且为BF1的中点．
∵AD⊥F1B，∴△F1AB为等腰三角形，
∴|AF1|＝|AB|＝2·，∴|AF1|＋|AF2|＝2·＋＝3·，由椭圆定义得3·＝2a，
∴＝，∴＝，∴e＝.
(理)(2022·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
[答案]
[解析] 由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得
①－②，并整理得＝－.(*)
∵M是线段AB的中点，且过点M(1,1)的直线斜率为－，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，k＝＝－.
∴(*)式可化为＝，
即a2＝2b2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，
即＝.∴e＝＝.
三、解答题
5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
[解析] (1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，即x2－3x－8＝0，
∴AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点为(，－)．
6．(文)(2022·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切与点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．
[解析] (1)如图所示，
由椭圆的几何性质
|AB|＝，而|AB|＝|F1F2|，
∴a2＋b2＝×4c2＝3c2.
又b2＝a2－c2，∴2a2＝4c2，即e2＝，∴e＝.
(2)由(1)设椭圆方程＋＝1.
设P(x1，y1)，B(0，c)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
∵P是异于顶点的点，∴x1≠0，y1≠0.
以PB为直径的圆过F1，即PF1⊥BF1，
∴·＝－1，∴y1＝－(x1＋c)．
设PB中点D(，)，即D为(，)．
由题意得|DF2|2＝|DM|2＋|MF2|2，
∵|DM|＝|DB|＝r，
∴|DF2|2＝(－c)2＋，|MF2|2＝8，
|DM|2＝＋(c＋)2，
即(－c)2＋＝8＋＋(c＋)2.
整理得cx1＝－4 ①
又P(x1，－(x1＋c))在椭圆上，
∴x＋2(x1＋c)2＝2c2整理得3x＋4cx1＝0 ②
∵x1≠0，∴，解之得c2＝3，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(理)(2022·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
[解析] (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则＝.
所以，椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，
有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0，
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0. ①
又由于点P在椭圆上，故
＋＝1 ②
由①和②可得3x＋4cx0＝0，而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为(－，)．
设圆的圆心为T(x1，y1)，则
x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝C．
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx，由l与圆相切，可得＝r，
即＝c，
整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.
所以，直线l的斜率为4＋或4－.
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