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第九章 平面解析几何第2课时 直线的方程
1. 直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为________.
答案:(0,3)
解析:∵ l1∥l2,且l1斜率为2,∴ l2的斜率为2.又l2过(-1,1),∴ l2的方程为y-1=2(x+1),整理得y=2x+3.令x=0,得P(0,3).
2. 直线ax+by+c=0同时要经过第一、其次、第四象限,则a、b、c应满足的关系式为________.
答案:>0,<0(或ab>0,bc<0)
解析:由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-x-,易知-<0且->0,故ab>0,bc<0.
3. 将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为________.
答案:y=-x+
解析:将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-x,再向右平移1个单位,所得直线的方程为y=-(x-1),即y=-x+.
4. 过点P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________.
答案:x+y-1=0或3x+2y=0
解析:直线l过原点时,l的斜率为-,直线方程为y=-x;l不过原点时,设方程为+=1,将点(-2,3)代入,得a=1,直线方程为x+y=1.综上,l的方程为x+y-1=0或2y+3x=0.
5. 直线l的斜率为,l与坐标轴围成的三角形周长是12,则l的方程为________________.
答案:3x-4y+12=0或3x-4y-12=0
解析:l:y=x+b,
∴|b|+|b|+|b|=12,∴|b|=3,
∴l的方程为3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.
6. 已知过点(0,1)的直线l:xtanα-y-3tanβ=0的斜率为2,则tan(α+β)=________.
答案:1
解析:依题意得,tanα=2,tanβ=-,故tan(α+β)===1.
7. 若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是________.
答案:(-2,1)
解析:k=tanα==.∵ α为钝角,∴ <0,即(a-1)(a+2)<0,故-2<a<1.
8. 过点P(1,4)引一条直线,使它在两条坐标轴上的截距为正值,且它们的和最小,则这条直线的方程为____________.
答案:2x+y-6=0
解析:设所求的直线方程为y-4=k(x-1),明显k<0.直线在x轴、y轴上的截距分别为1-、4-k.由于1->0,且4-k>0可得k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S=+(4-k)=5+(-k)+≥5+4=9,当且仅当-k=-,即k=-2时,S最小值为9.故所求直线方程为y-4=-2(x-1),即2x+y-6=0.
9. 已知△ABC的三个顶点为A(2,8)、B(-4,0)、C(6,0),求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.
解:AC中点D的坐标D(4,4),则直线BD即为所求,由直线方程的两点式得=,即x-2y+4=0.
10. 如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
解:由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C.
由点C在y=x上,且A、P、B三点共线得
解得m=,所以A(,).
又P(1,0),所以kAB=kAP==,
所以lAB:y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
11. 在△ABC中,已知点A(5,-2)、B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N 在x轴上. 求:
(1) 点C的坐标;
(2) 直线AB的方程;
(3) 直线MN的方程;
(4) 直线AB与两坐标轴围成三角形的面积.
解:(1) 设点C(x,y),则解得
∴ C(-5,-3).
(2) ∵ kAB==,∴ 直线AB的方程为y+2=(x-5),即5x-2y-29=0.
(3) M,N(1,0),∴ 直线MN的方程为+=1,即5x-2y-5=0.
(4) 由(2)知直线AB的方程为5x-2y-29=0,令x=0,则y=-;令y=0,则x=.∴ 直线AB与两坐标轴围成三角形的面积S=××= .
12. 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1) 求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2) 为使直线l不经过其次象限,求a的取值范围.
(1) 证明:将直线l的方程整理为y-=a(x-),∴ 直线l的斜率为a,且过定点A(,),
而点A在第一象限,∴ 直线l恒过第一象限.
(2) 解:要使直线l不经过其次象限,则直线l所在的区域介于AO和AB之间,如图,包含直线AO,但不包含直线AB.∴ a≥3.
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