资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．(2022·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由上表可得回归直线方程＝x＋中的＝－4，据此模型估量零售价定为15元时，每天的销售量为( )
A．48个 B．49个
C．50个 D．51个
解析：选B.由题意知＝17.5，＝39，代入回归直线方程得＝109.当x＝15时，＝109－15×4＝49.
2．(2022·武汉二中高考模拟试题)某车间为了规定工时定额， 需要确定加工零件所花费的时间， 为此进行了5次试验， 收集数据如下：
加工零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(分钟)
64
69
75
82
90
经检验，这组样本数据具有线性相关关系， 那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列推断正确的是( )
A．成正相关，其回归直线经过点(30, 76)
B．成正相关，其回归直线经过点(30, 75)
C．成负相关，其回归直线经过点(30, 76)
D．成负相关，其回归直线经过点(30, 75)
解析：选A. 随着x的增大，y也增大，所以成正相关．又＝＝30，
＝＝76，所以回归直线经过点(30, 76)．
3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
依据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为＝10.5x＋，据此模型来猜想当x＝20时，y的估量值为( )
A．210 B．210.5
C．211.5 D．212.5
解析：选C.由已知得＝5，＝54，则(5，54)满足回归直线方程＝10.5x＋，解得＝1.5，因此＝10.5x＋1.5.当x＝20时＝10.5×20＋1.5＝211.5.
4．(2022·山东东营模拟)已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若xi＝17，则yi的值等于( )
A．3 B．4
C．0.4 D．40
解析：选B.依题意x＝＝1.7，
而直线＝－3＋2x确定经过(x，y)，
所以y＝－3＋2x＝－3＋2×1.7＝0.4，
∴yi＝0.4×10＝4.
5．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设依据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋. 若某同学依据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，<a′
C.<b′，>a′ D.<b′，<a′
解析：选C.由(1，0)，(2，2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴<b′，>a′.
二、填空题
6．(2022·武汉市部分学校高三调研)某地区恩格尔系数y(%)与年份x统计数据如下表：
年份x
2004
2005
2006
2007
恩格尔系数y(%)
47
45.5
43.5
41
从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为y＝x＋4 055.25，则＝________，据此模型可猜想2022年该地区的恩格尔系数(%)为________．
解析：由于＝＝2 005.5，＝＝44.25，且点，在回归直线方程y＝x＋4 055.25上，代入得＝－2，所以回归直线方程为y＝－2x＋4 055.25.当x＝2 012时，y＝31.25.故可猜想2022年该地区的恩格尔系数为31.25.
答案：－2 31.25
7．(2022·辽宁大连市双基测试)已知下列表格所示数据的回归直线方程为＝3.8x＋a，则a的值为________.
x
2
3
4
5
6
y
251
254
257
262
266
解析：由已知得，x＝4，y＝258，由于点(x，y)在回归直线上，所以a＝242.8.
答案：242.8
8．(2022·山东济南市模拟考试)为了均衡训练资源，加大对偏远地区的训练投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年训练支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年训练支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年训练支出平均增加________万元．
解析：由题意知，0.15(x＋1)＋0.2－(0.15x＋0.2)＝0.15.
答案：0.15
三、解答题
9．(2022·武汉市高三模拟考试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20；
(2)估量在今后的销售中，销量与单价照旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
10．为了分析某个高二同学的学习状态，对其下一阶段的学习供应指导性建议．现对他前7次考试的数学成果x、物理成果y进行分析．下面是该生7次考试的成果.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成果与物理成果哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成果y与数学成果x是线性相关的，若该生的物理成果达到115分，请你估量他的数学成果大约是多少？
解：(1)＝100＋＝100，＝100＋＝100，
所以数学的方差是(144＋289＋289＋64＋64＋144)＝142.
物理的方差是(36＋81＋64＋16＋16＋1＋36)＝.
从而物理的方差小于数学的方差，所以物理成果更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，依据回归系数公式得到，＝－＝50，
则y＝0.5x＋50.
所以回归直线方程为y＝0.5x＋50.
当y＝115时，x＝130，即该生物理是115分时，数学成果是130.
[力气提升]
一、选择题
1．(2022·黄冈中学高三模拟)经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成果(单位：分)近似于线性相关关系．对某小组同学每周用于数学的学习时间x与数学成果y进行数据收集如下：
x
15
16
18
19
22
y
102
98
115
115
120
由表中样本数据求得回归方程为＝x＋，则点与直线x＋18y＝100的位置关系是( )
A．点在直线左侧 B．点在直线右侧
C．点在直线上 D．无法确定
解析：选B.样本数据的中心点为(18，110)，在直线＝x＋上，则＋18＝110>100.故点在直线x＋18y＝100的右侧．
2．(2022·安徽合肥检测)由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.(x0，y0)为这10组数据的平均值，又由于回归直线＝x＋必过样本中心点(，)，因此(x0，y0)确定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不愿定是(，)．
二、填空题
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发觉表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________.
解析：零件个数的平均值＝30，设零件为20个的对应加工时间为t min，加工时间的平均值＝，由于回归直线必经过点(，)，代入回归方程y＝0.67x＋54.9，计算得t＝68.
答案：68
4．(2022·广东梅州质检)在2021年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，线性回归直线确定经过样本中心(，)，即6＋＝－3.2＋40，
即3.2m＋n＝42.
又∵m＋n＝20，即解得故n＝10.
答案：10
三、解答题
5．一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用x和商场实际销售额的试验，得到如下数据：
投入促销费用x(万元)
2
3
5
6
商场实际营销额y(万元)
100
200
300
400
(1)在下面的直角坐标中，画出上述数据的散点图，并据此推断两个变量是否具有较好的线性相关性；
(2)求出x，y之间的回归直线方程＝x＋；
(3)若该商场方案营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？
解：(1)散点图，如图所示，从图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．
(2)＝＝4，＝＝250，
故所求的回归直线方程为＝70x－30.
(3)即70x－30≥600，即x≥＝9(万元)．
即该商场方案营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．
6．(选做题)弹簧长度y(cm)随所挂物体重量x(g)的不同而变化的状况如下表所示：
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.96
11.80
(1)画出散点图；
(2)求y与x的回归直线方程；
(3)猜想所挂物体重量为27 g时的弹簧长度(精确到0.01 cm)．
解：(1)散点图如图所示：
(2)接受列表的方法计算与回归系数(如下表所示).
序号
x
y
x2
xy
1
5
7.25
25
36.25
2
10
8.12
100
81.2
3
15
8.95
225
134.25
4
20
9.90
400
198
5
25
10.96
625
274
6
30
11.80
900
354
＝≈0.183，＝－＝9.50－0.183×17.5≈6.30.
所以y与x的回归直线方程为＝x＋＝0.183x＋6.30.
(3)当重量为27 g时，有＝0.183×27＋6.30≈11.24(cm)．
故当所挂物体重量为27 g时，弹簧的长度大约为11.24 cm.
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