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其次章 §2 2.3
一、选择题
1．下列从集合A到集合B的对应中为映射的是( )
A．A＝B＝N＋，对应法则f：x→y＝|x－2|
B．A＝R，B＝{0,1}，对应法则f：x→y＝
C．A＝B＝R，对应法则f：x→y＝±x
D．A＝Z，B＝Q，对应法则f：x→y＝
[答案] B
[解析] A中元素2无象，排解A；C中一个x对应两个y，与映射定义不符，排解C；D中元素0无像，排解D，故只有B正确．
2．下列对应为A到B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
[答案] D
[解析] 由函数的定义可知，对于A,0∈R，
且|0|＝0∉B，故A不是f：A→B的函数；
对于B,0∈Z，且02＝0∉N＋，
故B不是f：A→B的函数；
对于C，当x<0时，如－2∈Z，但无意义，
故C不是f：A→B的函数；
对于D，是多对一的情形，
符合函数的定义，是f：A→B的函数．
3．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] D
[解析] 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必需参与对应．
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．
4．已知(x，y)在映射下的像是(x＋y，x－y)，则像(1,2)在f下的原像为( )
A．(，) B．(－，)
C．(－，－) D．(，－)
[答案] D
[解析] 依据题意得，∴.
5．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列能表示从集合A到集合B的映射的是( )
[答案] D
[解析] 对于A，当x＝0，y＝0∉{y|1≤y≤2}，不是从A到B的映射；对于B，当x＝2时y＝0∉{y|1≤y≤2}，也不是从A到B的映射；对于C，当x＝0时，y＝1且y＝2，即集合A中的一个元素0与集合B中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A到B的映射；对于D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射．
6．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
[答案] D
[解析] 用排解法，A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排解B；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排解；故选D.
二、填空题
7．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则由A到B的一一映射的个数为________．
[答案] 2
[解析] 由题意可知如图：
共有2个一一映射．
8．已知f：x→y＝|x|＋1是从集合A＝R到集合B＝{正实数}的一个映射，则B中的元素8在A中的原像是________．
[答案] ±7
[解析] 由题意，得|x|＋1＝8，∴|x|＝7，
∴x＝±7.∴B中的元素8在A中的原像是±7.
三、解答题
9．已知映射f：(x，y)→(x＋y，xy)．
(1)求(－2,3)的像；
(2)求(2，－3)的原像．
[解析] (1)∵x＝－2，y＝3，
∴x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6，
∴(－2,3)的像是(1，－6)．
(2)由题意，
解得或，
∴(2，－3)的原像是(3，－1)或(－1,3)．
10．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x和B中元素y＝2x对应，求实数m的值．
[解析] 由对应关系f可知，集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2对应．
于是m2＝2×4，解得m＝±2.
一、选择题
1．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从A到B的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
[答案] C
[解析] 对于A，当0≤x≤4时，0≤x≤2，f：x→y＝x能构成A到B的映射；对于B,0≤x≤，也能构成集合A到集合B的映射；对于C,0≤x≤6，而[0,6]⃘[0,2]，所以不能构成从A到B的映射；对于选项D,0≤≤2，能构成从A到B的映射．
2．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] A
[解析] ∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，
即B＝{1,2,3,4}．
二、填空题
3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{0,1}，若映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，则这样的映射的个数是________．
[答案] 3
[解析] 由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以只能有f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1，或f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1，或f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，即这样的映射有3个．
4．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是________(填正确序号)．
(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；
(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝x；
(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝；
(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形与它面积的对应．
[答案] (2)
[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(由于(3)中集合A中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．
三、解答题
5．设f，g都是由A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：
映射f的对应关系
映射g的对应关系
原像
1
2
3
原像
1
2
3
像
2
3
1
像
2
1
3
设a＝g(f(3))，b＝g(g(2))，c＝f(g(f(1)))．试推断a，b，c的大小关系．
[解析] ∵a＝g(f(3))＝g(1)＝2，
b＝g(g(2))＝g(1)＝2，
c＝f(g(f(1)))＝f(g(2))＝f(1)＝2，
∴a＝b＝c.
6．下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？
(1)A＝B＝N，f：x→|x－3|；
(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}，
f：三角形的内切圆；
(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；
(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→y＝.
[解析] (1)当x∈N时，则|x－3|∈N，即A中的元素在B中都有像，所以(1)是映射，也是函数．
(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．
(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，它是A到B的映射．
(4)取x＝0，y＝没有意义，即A中元素0在B中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．
规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．
(2)有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？对于关系式x＝1，明显有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．
7．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．
[解析] ①当a≥0时，集合A中元素的像满足－2a≤ax≤2a.若能够建立从A到B的映射，
则[－2a,2a]⊆[－1,1]，即∴0≤a≤.
②当a<0时，集合A中元素的像满足2a≤ax≤－2a，若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a]⊆[－1,1]，即∴－≤a<0.综合①②可知－≤a≤.
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