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课时提升作业(十)
求曲线的方程
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是 ( )
A.(x+1)2+(y-2)2=9
B.(x-1)2+(y+2)2=9
C.(x+1)2+(y-2)2=3
D.(x-1)2+(y+2)2=3
【解析】选B.设P(x,y),由题设得(x-1)2+(y+2)2=3,
所以(x-1)2+(y+2)2=9.
2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-3,0),B(3,0),顶点C的轨迹是
( )
A.一条直线 B.一条直线去掉一点
C.一个点 D.两个点
【解析】选B.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.留意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉.
3.(2022·临沂高二检测)在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点轨迹方程是 ( )
A.x2+y2=3 B.x2+y2=4
C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0)
【解析】选C.易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.所以选C.
【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 .
【解析】设动点为P(x,y),则由条件得:(x-2)2+y2=|x|+2,平方得y2=4x+4|x|,
当x≥0时,y2=8x;
当x<0时,y=0.
所以动点的轨迹方程为y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).
答案:y2=8x (x≥0)或y=0(x<0)
4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC→=αOA→+βOB→,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 ( )
A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即可得出点C的轨迹方程或依据OC→=αOA→+βOB→及α+β=1,用α表示出OC→的坐标,再消去α即可得出点C的轨迹方程.
【解析】选D.设C(x,y),由于OC→=αOA→+βOB→,
所以(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),
所以(x,y)=(3α-β,α+3β),
得x=3α-β,y=α+3β,即α=3x+y10,β=3y-x10,
由于α+β=1,所以3x+y10+3y-x10=1,
整理得x+2y-5=0.
【一题多解】选D.由OC→=αOA→+βOB→=α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)=(4α-1,3-2α),设C点的坐标为(x,y),得OC→=(x,y),
所以x=4α-1,y=3-2α,消去α得x+2y-5=0.
5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若RA→=AP→,则点P的轨迹方程为 ( )
A.y=-2x B.y=2x
C.y=2x-8 D.y=2x+4
【解析】选B.由RA→=AP→,知R,A,P三点共线,且A为RP的中点.
设P(x,y),R(x1,y1),
由RA→=AP→,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),
得1-x1=x-1,-y1=y,即x1=2-x,y1=-y代入直线y=2x-4中,得y=2x,故选B.
6.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP→=2PA→,且OQ→·AB→=1,则P点的轨迹方程是 ( )
A.3x2+32y2=1(x>0,y>0)
B.3x2-32y2=1(x>0,y>0)
C.32x2-3y2=1(x>0,y>0)
D.32x2+3y2=1(x>0,y>0)
【解析】选D.设A(x0,0),B(0,y0),
则BP→=(x,y-y0),PA→=(x0-x,-y),
由于BP→=2PA→,
所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),
所以x=2x0-2x,y-y0=-2y,得x0=32x,y0=3y,
因此A点坐标为32x,0,B点坐标为(0,3y),
又由于点Q与点P关于y轴对称,所以Q(-x,y),
由OQ→·AB→=1,得(-x,y)·-32x,3y=1,
即32x2+3y2=1,
又P点在第一象限,所以x>0,y>0.故选D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·温州高二检测)已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数12,设点M的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是 .
【解析】设点M(x,y),则据题意有(x-1)2+y2|x-4|=12,
则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,
即3x2+4y2=12,所以x24+y23=1,
故曲线C的方程为x24+y23=1.
答案:x24+y23=1
8.(2022·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12,则动点P的轨迹方程为 .
【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±2,kAP=yx+2,
kBP=yx-2,由条件知kAP·kBP=-12,
所以yx+2×yx-2=-12,
整理得x2+2y2-2=0(x≠±2).
答案:x2+2y2-2=0(x≠±2)
【误区警示】解答本题时简洁漏掉“x≠±2”这个条件.这是由于忽视了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避开因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.
9.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .
【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.
则∠OPB=30°.由于|OB|=1.
所以|PO|=2.
所以P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,
即x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2022·唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且MP0→=32PP0→,求点M的轨迹C的方程.
【解析】设点M(x,y),P(x0,y0),
则由题意知P0(x0,0).
由MP0→=(x0-x,-y),PP0→=(0,-y0),且MP0→=32PP0→,得(x0-x,-y)=32(0,-y0),
所以x0-x=0,-y=-32y0,于是x0=x,y0=23y.
又x02+y02=4,
所以x2+43y2=4,
所以,点M的轨迹C的方程为x24+y23=1.
【变式训练】若长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足AC→=2CB→,求动点C的轨迹方程.
【解析】设A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b),
则AC→=(x-a,y),CB→=(-x,b-y),
由于AC→=2CB→,
所以x-a=-2x,y=2b-2y,即a=3x,b=32y.
又由于|AB|=3,所以a2+b2=9,
即9x2+94y2=9,即x2+y24=1.
故动点C的轨迹方程为x2+y24=1.
11.(2021·陕西高考改编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.
【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.
【解析】A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=MN2,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·长沙高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN→|·|MP→|+MN→·NP→=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x
【解析】选B.依题意可得,4(x+2)2+y2+4(x-2)=0,整理可得y2=-8x.
2.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为 ( )
A.f(x-3,y)=0 B.f(y+3,x)=0
C.f(y-3,x+3)=0 D.f(y+3,x-3)=0
【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x′,y′),又(x′,y′)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.
【解析】选D.设P′为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x′,y′),依题意有y-y'x-x'=-1,x+x'2-y+y'2-3=0⇒x'=y+3,y'=x-3.
又(x′,y′)适合方程f(x,y)=0,
故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选D.
3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是 ( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.
【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?
【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),
则x=x0-12,y=y0+22,
所以x0=2x+1,y0=2y-2.
由于点P在直线2x-y+3=0上,
所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.
整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.
4.(2022·哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于13,则动点P的轨迹方程为
( )
A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=-2(x≠±1)
C.x2-3y2=2 D.x2-3y2=2(x≠±1)
【解析】选B.设P(x,y),由于点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以B(1,-1).
kPA=y-1x+1(x≠-1),kPB=y+1x-1(x≠1),
由于kPA·kPB=13,所以y-1x+1·y+1x-1=13.
整理得x2-3y2=-2(x≠±1).
【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则AB中点M的轨迹方程是 ( )
A.x2+y2=9 B.x+y=6
C.2x2+y2=12 D.x2+2y2=12
【解析】选A.设M点坐标为(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由于M为AB中点,
所以x=0+x02,y=0+y02,
得x0=2x,y0=2y,由于|AB|=6,
所以(2x-0)2+(0-2y)2=6,
整理得:x2+y2=9.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·成都高二检测)如图,动点M和两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,
且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为 .
【解析】设M的坐标为(x,y),明显有x>0,且y≠0,
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3),
当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB,
将tan∠MBA=y2-x,tan∠MAB=yx+1代入上式,
化简可得3x2-y2-3=0,
而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,
综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).
答案:3x2-y2-3=0(x>1)
6.已知sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,则点P(a,b)的轨迹方程为 .
【解题指南】依据sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sinθ,
cosθ的关系,再通过消参,消去sinθ,cosθ得到a,b的关系式.
【解析】由根与系数的关系知
sinθ+cosθ=a ①sinθ·cosθ=b ②
由①2-②×2得a2-2b=1.
由于a=sinθ+cosθ=2sinθ+π4,
所以-2≤a≤2,b=12sin2θ,
所以-12≤b≤12.
所以点P的轨迹方程为:a2=2b+12(-2≤a≤2).
答案:a2=2b+12(-2≤x≤2)
【学问拓展】参数法的定义及消参的方法
(1)参数法的定义
求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以查找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.
(2)消去参数的常用方法
①代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;
②加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;
③平方法:通过平方,整体代入消去参数.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·南京高二检测)△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.
【解析】设A的坐标为(x,y),AB的中点D的坐标为(x1,y1).
由中点坐标公式可知
x1=x2,y1=y2,
由于AB边上的中线CD=3,
所以(x1-4)2+y12=9,
化简整理得(x-8)2+y2=36.
所以点A的轨迹方程为(x-8)2+y2=36(y≠0).
8.(2022·大庆高二检测)已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且PA→·AQ→=0,QM→=2AQ→.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
【解析】设M(x,y)是曲线上任意一点,并设Q(a,0),A(0,b),
则PA→=(3,b),AQ→=(a,-b),QM→=(x-a,y),PA→·AQ→=3a-b2=0 ①,
由于QM→=2AQ→,
所以x-a=2a,y=-2b,
所以a=x3,b=-y2,②
把②代入①,得y2=4x,
所以,动点M的轨迹方程为y2=4x.
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