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2.6 力的分解
[目标定位] 1.理解力的分解.2.知道力的分解是力的合成的逆运算.3.会用作图法求分力，会用直角三角形的学问计算分力.4.知道力的正交分解法，会用正交分解法求合力．
一、力的分解
1．力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解．
2．力的分解原则：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，把一个已知力F作为平行四边形的对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力．
3．力的分解方法
(1)一个力可以分解为两个力，假如没有限制，同一个力可以分解为很多对大小、方向不同的分力．
(2)力的效果分解
在实际的问题中，要依据力的实际作用效果分解．
例如，如图261所示，质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体沿斜面下滑，相当于分力F1的作用；二是使物体垂直压紧斜面，相当于分力F2的作用，则F1＝mgsin α，F2＝mgcos_α.
图261
想一想：
将一个已知力进行分解，得到的两个分力肯定比该已知力小吗？
答案 不肯定 合力与分力的关系是：合力可能大于分力，也可能小于分力，还有可能等于分力．
二、力的正交分解
1．定义：把力在两个相互垂直的方向上分解叫做正交分解．
2．通常在这两个相互垂直的方向设立平面直角坐标系，把力F沿x轴和y轴这两个相互垂直的方向分解．如图262所示，Fx＝Fcos_θ，Fy＝Fsin_θ.
图262
一、力的分解
1．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
2．假如没有限制，一个力可分解为很多对大小、方向不同的分力．
3．力的效果分解法
(1)依据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)依据两个分力的方向作出力的平行四边形或三角形．
(3)利用数学学问解三角形，分析、计算分力的大小．
4．两种典型状况的力的分解
(1)拉力F可分解为：水平向前的力F1和竖直向上的力F2，如图263所示．
(2)重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.(如图264所示)
F1＝Fcosα，F2＝Fsinα F1＝mgsinα，F2＝mgcosα
图263 图264
例1 如图265所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30 N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和杆各受多大的力？
图265
解析 悬挂重物的绳子对O点的拉力F＝G，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止时杆所受的弹力肯定沿着杆，否则会引起杆的转动)作平行四边形如图所示，由几何关系解得
F1＝＝60 N
F2＝≈52 N
答案 60 N 52 N
二、有限制条件的力的分解
力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)，若能，即有解；若不能则无解．具体状况有以下几种：
1．已知合力和两个分力的方向时(如图266甲)，两分力有唯一解(如图乙所示)．
图266
2．已知合力和一个分力的大小和方向时(如图丙所示，若已知F和F1)，另一分力有唯一解(如图丁所示)．
3．已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，有下面几种可能：
图267
(1)当Fsinθ＜F2＜F时，有两解(如图267甲)．
(2)当F2＝Fsinθ时，有唯一解(如图267乙)．
(3)当F2＜Fsinθ时，无解(如图267丙)．
(4)当F2＞F时，有唯一解(如图267丁)．
例2 按下列两种状况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力．
图268
(1)一个分力在水平方向上，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图268所示)，求两个分力的大小．
甲
解析 (1)力的分解如图甲所示．F2＝＝300 N
设F2与F的夹角为θ，则
tan θ＝＝，解得θ＝53°
(2)力的分解如图乙所示．
乙
F1＝Ftan 30°＝180×N＝60 N
F2＝＝N＝120N
答案 (1)300 N 与竖直方向夹角为53°
(2)水平方向分力的大小为60 N，斜向下的分力大小为120 N
例3 如图269所示，一个大人与一个小孩在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1＝400 N，方向与河中心线的夹角为30°，要使船向正东方向行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向．
图269
解析 如图所示，使合力F沿正东方向，
则小孩施加的最小拉力方向为垂直于河岸与向北拉船，力的最小值为F2＝F1sin 30°＝100×N＝50 N.
答案 50 N
三、力的正交分解
1．建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
2．正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图2610所示．
图2610
3．分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
4．求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
例4 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图2611所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图2611
解析 本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程格外简单．为此，可接受力的正交分解法求解此题．
如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
答案 38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
按力的效果分解
1．在图2612中，AB、AC两光滑斜面相互垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力依据其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
图2612
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
解析 对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
答案 A
2．如图2613所示，已知电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角θ＝45°，BO绳水平．
图2613
(1)请按力的实际作用效果将OC绳对O点的拉力加以分解，并作出图示．
(2)AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
解析 OC绳的拉力产生了两个效果，一是沿着AO的方向向下拉紧AO的分力F1，另一个是沿着BO绳的方向向左拉紧BO绳的分力F2.画出平行四边形，如图所示．
由于电灯处于静止状态，依据二力平衡的条件，可推断OC绳的拉力大小等于电灯的重力，因此由几何关系得F1＝＝10 N，F2＝Gtanθ＝10 N；其方向分别为沿AO方向和沿BO方向(如上图所示)．
答案 (1)见解析图 (2)F1＝10 N，F2＝10 N
有限制条件的力的分解
3．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有很多组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
解析 设方向已知的分力为F1，如图所示，
则F2的最小值F2小＝Fsin 30°＝5 N．而5 N<F2<10 N，F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，故此时有两组解，B正确．
答案 B
4．(2021成都外国语学校期中)某物体受到一个力大小为10 N，把这个力分解为两个力F1、F2，下面说法中正确的是( )
A．F1、F2可能都小于5 N
B．F1、F2可能都小于10 N
C．F1、F2可能一个大于10 N，另一个小于10 N
D．F1＝10 N、F2＝10 N是不行能的
答案 BC
力的正交分解
5．如图2614所示，水平地面上有一重60 N的物体，在与水平方向成30°角斜向上、大小为20 N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力大小．
图2614
解析 对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力F′.建立直角坐标系，对力进行正交分解得：
y方向：支持力FN＝G－Fy＝G－Fsin 30°＝60 N－20×N＝50 N；
x方向：摩擦力F′＝Fx＝Fcos 30°＝20×N＝10 N.
答案 50 N 10 N
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