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分类解密———专题突破
函数与不等式模型的应用题
例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开头加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).
(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;
(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?
练习 如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.
(1) 用x,y,a,b表示S;
(2) 若S为定值,为节省金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.
(练习)
函数与导数模型的应用题
例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在始终线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).
(1) 将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
(2) 若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
(例1)
练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv2(c为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.
(1) 求出y关于v的函数解析式;
(2) 设0<v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.
三角形与三角函数模型
例1 如图,某园林单位预备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2.
(1) 用a,θ表示S1和S2;
(2) 当a固定,θ变化时,求的最小值.
(例1)
练习 (2022·淮安中学)如图所示,某市政府打算在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的大路为边界的扇形地域内建筑一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.
(1) 将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
(2) 求当矩形ABCD的面积S最大时,θ的值,并求最大值.(用含R的式子表示)
(练习)
解析几何模型
例1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r(r>0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不转变航线,假设台风中心不移动.
(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?
(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?
练习 (2022·江苏卷)如图,为疼惜河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形疼惜区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,疼惜区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1) 求新桥BC的长;
(2) 当OM多长时,圆形疼惜区的面积最大?
(练习)
数列模型
例1 商学院为推动后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的同学公寓,工程于2022年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处接受收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.
(1) 若公寓收费标准定为每名同学每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷款?
(2) 若公寓管理处要在2022年底把贷款全部还清,则每名同学每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)
练习 某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如,g(3)=.
(1) 求g(10);
(2) 求第x个月的当月利润率;
(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.
立体几何体模型
例1 某企业拟建筑如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,依据设计要求容器的体积为 m3,且l≥2r.假设该容器的建筑费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元,半球形部分每平方米建筑费用为c(c>3)千元.设该容器的建筑费用为y千元.
(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;
(2) 求该容器的建筑费用最小时半径r的值.
(例1)
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