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其次章 第八节
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3－2x2＋2有唯一零点，则下列区间上必存在零点的是( )
A．(－2，－) B．(－，－1)
C．(－1，－) D．(，0)
[答案] C
[解析] 由题意，可知f(－1)·f(－)<0，故f(x)在(－1，－)上必存在零点，故选C．
2．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为( )
A．1,2 B．±1，－2
C．1，－2 D．±1,2
[答案] C
[解析] 由f(x)＝x3－3x＋2＝0得x3－x－(2x－2)＝0，∴(x－1)(x2＋x－2)＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，解得x＝1或x＝－2，选C．
3．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图像是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法确定
[答案] D
[解析] 由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.
4．函数f(x)＝的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 由题可知，当x>0时，y＝lnx与y＝－2x＋6的图像有1个交点；当x≤0时，函数y＝－x(x＋1)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有3个零点．
5．(2022·辽宁三校联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
[答案] A
[解析] 在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图像，如图，观看它们与直线y＝－x的交点状况可知a<b<C．
6．(文)若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1
[答案] B
[解析] f(x)＝2ax2－x－1，
∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a－2，
∴由f(1)>0得a>1.故选B．
(理)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．[－2,2]
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了函数零点的推断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为________．
[答案] 0
[解析] 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又由于x>1，所以此时方程无解．
综上函数f(x)的零点只有0.
8．(2022·北京西城区期末)设函数f(x)＝，则f[f(－1)]＝________；若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．
[答案] －2 (0,1]
[解析] f[f(－1)]＝f(4－1)＝f()＝log2＝－2.令f(x)－k＝0，即f(x)＝k，设y＝f(x)，y＝k，画出图像，如图所示，函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，即y＝f(x)与y＝k的图像有两个交点，由图像可得实数k的取值范围为(0,1]．
9．(文)已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，1)
[解析] 函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致图像如图所示，于是有f(1)<0，即1＋(a－1)＋(a－2)<0，解得a<1.
(理)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
[答案]
[解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3.
因此解得a＝－1，b＝－6，
故f(x)＝x2－x－6.
所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0，
解得－<x<1.
三、解答题
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m的取值范围．
[解析] 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)≤0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
，∴，
∴，∴－≤m≤－1，
由①②可知m≤－1.
一、选择题
1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.
∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．
∵f(－)＝e－－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，
f()＝e－2<0，f()＝e－1>0，
∴f()·f()<0.
2．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x)的零点，且m<n，则实数a，b，m，n的大小关系是( )
A．m<a<b<n B．a<m<n<b
C．a<m<b<n D．m<a<n<b
[答案] A
[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，
f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A．
二、填空题
3．(2021·启东检测)若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k＝________.
[答案] 4
[解析] 由题意可得f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)(log23＋3－k)<0，整理得(3－k)(log23＋3－k)<0，解得3<k<3＋log23，而4<3＋log23<5，由于k∈Z，故k＝4.
4．(文)(2022·西安五校联考)函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________．
[答案] (－∞，0]∪{1}
[解析] 当m＝0时，x＝为函数的零点；
当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，
若Δ≠0，明显函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)<0，即m<0.
(理)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，2ln2－2]
[解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的力气．
函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，
也就是a＝－ex＋2x有解，令g(x)＝－ex＋2x，
g(x)的值域就是a的取值范围．
∵g′(x)＝－ex＋2＝0的根为x＝ln2，
且当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，g(x)是增函数，
当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，
∴a的取值范围是(－∞，2ln2－2]．
三、解答题
5．(2022·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
[分析] 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．
[解析] ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种状况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
[点评] 方程的思想是与函数思想亲热相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．
6．(文)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝x2－x－3，由于x0为不动点，
因此有f(x0)＝x－x0－3＝x0，所以x0＝－1或x0＝3.
所以3和－1为f(x)的不动点．
(2)由于f(x)恒有两个不动点，
f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，
ax2＋bx＋(b－1)＝0，
由题设知b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0.所以0<a<1.
(理)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
[解析] ∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，
∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)
＝4(1－a)(5a＋1)≤0.
所以a≤－或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，
即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
②当f(3)＝0时，a＝－，
此时f(x)＝x2－x－，
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解之得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a<－或a>1.
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