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第一章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 y＝f(x)在(a，b)上f′(x)>0⇒y＝f(x)在(a，b)上是增函数，反之，y＝f(x)在(a，b)上是增函数⇒f′(x)≥0⇒f′(x)>0.
答案 A
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是2x＋y－1＝0，则( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析 曲线y＝f(x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝－2<0.
答案 B
3．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
解析 ∵y′＝x2，k＝tanα＝y′|x＝－1＝(－1)2＝1，
∴α＝45°.
答案 B
4．曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为( )
A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)
解析 设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.
∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案 B
5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝x3－x
C．y＝xex D．y＝－x＋ln(1＋x)
解析 对于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.
答案 C
6．下列积分值为2的是( )
A.(2x－4)dx B.cosxdx
C.dx D.sinxdx
解析 sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2.
答案 D
7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为( )
解析 由y＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项．
答案 D
8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( )
A．极大值5，微小值为－27
B．极大值5，微小值为－11
C．极大值5，无微小值
D．微小值－27，无极大值
解析 f′(x)＝3x2－6x－9
＝3(x＋1)(x－3)．
当x<－1时，f′(x)>0，
当－1<x<3时，f′(x)<0.
∴x＝－1是f(x)的极大值点．
且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无微小值．
答案 C
9．已知f(x)为三次函数，当x＝1时f(x)有极大值4，当x＝3时f(x)有微小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )
A．f(x)＝x3－2x2＋3x B．f(x)＝x3－6x2＋x
C．f(x)＝x3＋6x2＋9x D．f(x)＝x3－6x2＋9x
解析 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)＝3ax2－12ax＋9a.
由题意得
解得a＝1，b＝－6，c＝9.
所以f(x)＝x3－6x2＋9x.
答案 D
10．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析 如图所示，阴影部分的面积为S1＝－1(x2－x)dx
＝(x3－x2)
＝.
S2＝(x2－x)dx＝－(x3－x2)＝，
故所求的面积为S＝S1＋S2＝1.
答案 B
11．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为( )
A．－3 B．0
C．1 D．3
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意知，3a×()2＋2b×＋c＝0，
即＋＋c＝0，
∴2b＋ac＝－3.
答案 A
12．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时， f(x)( )
A．有极大值，无微小值
B．有微小值，无极大值
C．既有极大值又有微小值
D．既无极大值也无微小值
解析 由题意知，f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2[x2f′(x)＋2xf(x)]＝ex－＝ex.
由g′(x)＝0，得x＝2.当x＝2时，g(x)有微小值g(2)＝e2－2×22f(2)＝e2－8·＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无微小值．
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)在R上可导，且f′(0)＝2.∀x，y∈R，若函数f(x＋y)＝f(x)f(y)成立，则f(0)＝________.
解析 令y＝0，则有f(x)＝f(x)f(0)．
∵f′(0)＝2，∴f(x)不恒为0，∴f(0)＝1.
答案 1
14．
解析
答案 －1
15．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2＋2x＋5，则f′(2)＝________.
解析 ∵f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，
∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2.
∴f′(1)＝1.
∴f′(x)＝x2－2x＋2.
∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2.
答案 2
16．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后其次个4 s内经过的路程是________．
解析 (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26
＝261.2.
答案 261.2米
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的微小值．
解 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.
故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，
减区间为(－2,2)．
(1)当x＝－2，f(x)取得极大值，
故f(－2)＝－＋8＋m＝，
∴m＝4.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4，
又当x＝2时，f(x)有微小值f(2)＝－.
18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，假如所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．
解 设容器底面宽为x m，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.
由解得0<x<1.6，
设容器的容积为y m3，则有
y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x＝1，或x＝－(舍去)．
∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x＝1使y′＝0，且x＝1是极大值点，
∴当x＝1时，y取得最大值为1.8.
此时容器的高为3.2－2＝1.2 m.
因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.
19．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．
(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；
(2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值．
解 (1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，
∴f(x)为R上的单调增函数．
(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，
∴3a－1＝4，∴a＝>1(舍去)；
②当1<a<3时，f(x)在(1，a)上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f(a)＝2a3－3(a＋1)a2＋6a2＝4.化简得(a＋1)(a－2)2＝0，∴a＝－1<1(舍去)，或a＝2；
③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值，
∴54－27(a＋1)＋18a＝4，
解得a＝<3(舍去)．
综上可知，a＝2.
20．(12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4.
(1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得
f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1,4，
∴(*)
(1)当a＝3时，由(*)得
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
解得a∈[1,9]，
即a的取值范围是[1,9]．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，
∴a＋b＝4.①
又f′(x)＝3ax2＋2bx，则
f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－)＝－1，
得3a＋2b＝9.②
由①，②解得a＝1，b＝3.
(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，
若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则
[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，
∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3，
∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．
22．(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.
(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；
(2)证明：(x－1)f(x)≥0.
解 (1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，
xf′(x)＝xlnx＋1，
题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.
令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.
当0<x<1时，g′(x)>0；
当x≥1时，g′(x)≤0，
x＝1是g(x)的最大值点，
g(x)≤g(1)＝－1.
综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，
即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，
当0<x<1时，
f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1
＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；
当x≥1时，
f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)
＝lnx＋x(lnx＋－1)
＝lnx－x(ln－＋1)≥0.
所以(x－1)f(x)≥0.
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