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第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．复数的模是正实数
B．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C．相等的向量对应着相等的复数
D．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数
解析 复数的模可能为0，故A项错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B项错．复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故C项正确．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故D项错．
答案 C
2．下列命题：①复数a＋bi不是实数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①中没有说明a，b∈R，所以当b＝0时，a＋bi可能是实数；②中当x＝－2时，不正确；③中没有说明a，b∈R，所以不正确；因此三个命题都不正确．
答案 A
3．若n是大于2000的奇数，则复数()2n＋()2n的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析 ()2n＋()2n
＝()n＋()n
＝(－1)n＋(－1)n＝2(－1)n.
∵n是大于2000的奇数，
∴原式＝－2.
答案 B
4．复数z＝＋(a2＋2a－3)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为( )
A．a＝0 B．a＝0且a≠－1
C．a＝0或a＝－2 D．a≠1或a≠－3
解析 依题意得
解得a＝0，或a＝－2.
答案 C
5．复数的值是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析 ＝＝－1.
答案 A
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析 设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则＝＝
＝[(2－b)＋(2＋b)i]．
∵∈R，
∴2＋b＝0，b＝－2，
∴z＝－2i.
答案 D
7．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 复数z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，在复平面内z的对应点M在第四象限的充要条件是即－2<a<2.故“a＝1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．
答案 A
8．复数z＝在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵z＝＝＝(i＋1)＝＋i，
∴复数z的对应点在第一象限．
答案 A
9．复数－＝( )
A．0 B．2
C．－2i D．2i
解析 －＝＋＝i＋i＝2i.
答案 D
10．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析 依题意知，＝zi＋z＝4＋2i，
∵z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 A
11．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于( )
A．1±2i B．－1±2i
C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
解析 若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁琐，本题可接受验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i.
答案 C
12．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析 ∵z＝x＋yi，(x，y∈R)，
则＝x－yi，∴z－＝2yi.
∴|z－|＝|2y|≥2y，故A，C项错．
又z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，故B项错．因此，正确答案为D.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．复数的共轭复数是________．
解析 ∵＝＝＝－i，
∴共轭复数为＋i.
答案 ＋i
14．若z1＝1＋i，z1·2＝2，则z2＝__________.
解析 ∵z1＝1＋i，z1·2＝2，
∴2＝＝1－i.
∴z2＝1＋i.
答案 1＋i
15．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部是________．
解析 ∵(z1－z2)i＝[4＋29i－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，
∴(z1－z2)i的实部是－20.
答案 －20
16．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析 设z1＝2－3i的对应点为A，则A的坐标为(2，－3)，A关于原点对称的坐标为B(－2,3)，则B对应的复数为z2＝－2＋3i.
答案 －2＋3i
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，实数a是否存在？若存在求出a的值；若不存在说明理由．
解 若z为纯虚数，则
由①解得a＝3，或a＝－2，
分别代入②都不合题意，所以不存在使z为纯虚数的实数a.
18．(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求点B对应的复数．
解 ∵对应的复数是－2－4i，对应的复数是－4－i，
又∵＝－，∴对应的复数为(－2－4i)－(－4－i)＝2－3i.
又对应的复数是3＋i，＝＋.
∴对应的复数是(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i.
即点B对应的复数是5－2i.
19．(12分)已知虚数z满足|z|＝，且(z－a)2＝a，求实数a.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则(z－a)2＝(x＋yi－a)2
＝(x－a)2－y2＋2y(x－a)i.
又(z－a)2＝a，|z|＝，
∴
解得a＝－1.
20．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2，
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi.
由题意得a2＋b2＝2，且2ab＝2.
解得a＝b＝1或a＝b＝－1.∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i.
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
∴S△ABC＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，∴S△ABC＝×2×1＝1.
故△ABC的面积为1.
21．(12分)设w＝－＋i，
(1)求证：1＋w＋w2＝0；
(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
解 (1)证明：∵w＝－＋i，
∴w2＝(－＋i)2
＝＋2(－)(i)＋(i)2
＝－i－
＝－－i，
∴1＋w＋w2＝1－＋i－－i＝0.
(2)由1＋w＋w2＝0知，
(w－1)(1＋w＋w2)＝0，
∴w3－1＝0，∴w3＝1.
∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)
＝(－2w2)(－2w)
＝4w3＝4.
22．(12分)设z1，z2∈C，
(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；
(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.
解 (1)证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2
＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2
＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，
故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，
∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.
∴|z1－z2|2＝68－36＝32.
∴|z1－z2|＝4.
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