资源描述
1．定积分f(x)dx的大小( )
A．与y＝f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与y＝f(x)有关，与积分区间[a，b]和ξi的取法无关
C．与y＝f(x)和ξi的取法有关，与积分区间[a，b]无关
D．与y＝f(x)、积分区间[a，b]、ξi的取法均无关
解析：选A.定积分的大小仅与被积函数和积分的上、下限有关．
2．下列结论中成立的个数是( )
①x3dx＝·；
②x3dx＝·；
③x3dx＝·.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.积分是一个极限的形式，依据积分的定义可知②③正确．
3．(2021·铜陵质检)定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选A.3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，(－3)dx
＝3dx＝－6.
4．已知函数f(x)＝sin5x＋1，依据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是( )
A.＋ B．π
C．1 D．0
解析：选B. (sin5x＋1)dx＝sin5xdx＋1dx，∵y＝sin5x在[－，]上是奇函数，
∴sin5xdx＝0.
而1dx＝＝π，故f(x)dx＝π，故选B.
5．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞a＞b B．a＞b＞c
C．a＝b＞c D．a＞c＞b
解析：选B.依据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx＜xdx，即a＞b＞c，故选B.
6．(2021·淄博调研)定积分(2＋)dx＝________.
解析：原式＝2dx＋dx.
∵2dx＝2，dx＝，
∴(2＋)dx＝＋2.
答案：＋2
7．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin x围成的平面图形的面积可用定积分表示为________．
解析：因y＝x3＋sin x为奇函数，故－1(x3＋sin x)dx＝－(x3＋sin x)dx＜0，
所以S＝2(x3＋sin x)dx.
答案：2(x3＋sin x)dx
8. (2021·成都高二检测)若y＝f(x)的图象如图所示，定义F(x)＝f(t)dt，x∈[0,1]，则下列对F(x)的性质描述正确的有________．
(1)F(x)是[0,1]上的增函数；
(2)F′(1)＝0；
(3)F(x)是[0,1]上的减函数；
(4)∃x0∈[0,1]使得F(1)＝f(x0)．
解析：
由定积分的几何意义可知，F(x)表示图中阴影部分的面积，且F(1)＝f(t)dt为一个常数，当x渐渐增大时，阴影部分的面积也渐渐增大，所以F(x)为增函数，故(1)，(2)正确，(3)错误．由定积分的几何意义可知，必定∃x0∈[0,1]，使S1＝S2，此时矩形ABCO的面积与函数f(x)的图象与坐标轴围成的区域的面积相等，即F(1)＝f(t)dt＝f(x0)，故(4)正确．
所以对F(x)的性质描述正确的有(1)，(2)，(4)．
答案：(1)(2)(4)
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
解：(1) sin xdx.
(2) －4x2dx.
(3)－－xdx＝xdx.
10．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；
(2)6x2dx；
(3)(3x2－2x3)dx.
解：(1)3x3dx＝3x3dx＝3(x3dx＋x3dx)
＝3＝12.
(2)6x2dx＝6(x2dx＋x2dx)＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
1．将和式的极限 (p＞0)表示成定积分为( )
A.dx B.xpdx
C.pdx D.pdx
解析：选B.令ξi＝，f(x)＝xp，
则＝f(ξi)＝xpdx.故选B.
2．将 (＋＋…＋)表示为定积分为________．
解析：由定积分的定义 (＋＋…＋)
＝()·
＝()·＝dx.
答案：dx
3．设f(x)＝求f(x)dx.
解：
∵f(x)＝
∴f(x)dx＝(x＋1)dx
＋(－2x＋4)dx.
又由定积分的几何意义得
(x＋1)dx＝(1＋2)×1＝，
(－2x＋4)dx＝×1×2＝1，
∴f(x)dx＝＋1＝.
4．抛物线y＝x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为＋，求(－x2)dx.
解：解方程组得x＝±2.
∴阴影部分的面积为
(－x2)dx.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(＋)＝2π＋.
由定积分的几何意义得
(－x2)dx
＝ (－x2)dx
＝π＋.
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