高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-典型例题：导数的几何意义.docx

3.2 导数的几何意义【例1】曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标【例2】由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+bx(a0)引切线，切于不同于O的点P1(x1,y1).再由P1引曲线的切线，切于不同于P1的点P2(x2,y2),如此连续地作下去,得到点列Pn(xn,yn)，试回答下列问题：(1)求x1;(2)求xn与xn+1的关系；(3)当a0时，求证：当n为正偶数时有xna,当n为正奇数时有xna.参考答案例1：【分析】求f(x)的导数f(x)，依据斜率为2，先求出M的横坐标，再代入到f(x)中得到纵坐标.【解】f(x)=x3+2x+1，=3x2+2.f(x)=3x2+2=2,x=0.又f(0)=1,M的坐标为(0，1)【点拨】先依据导数公式求出点的横坐标，再将横坐标代入函数式子求出纵坐标.例2：【分析】过Pn(xn,yn)的切线的斜率kn=f(xn)，利用点斜式写出直线方程.又由于点Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上，所以坐标满足方程.于是建立xn与xn+1的递推关系.对于第(1)问,设P0(x0,y0)即为P0(0，0).由于原点也在曲线上，于是应当满足递推关系，求出x1.利用递推数列的学问求解xn的通项公式，最终运用分类思想赐予证明.【解】(1)原点(0，0)，kn=f(xn)，f(x)=x3-3ax2+bx,f(x)=3x2-6ax+b，f(xn)=3xn2-6axn+b.k1=f(x1)=3x12-6ax1+b.过P1的切线l1的方程为y-f(x1)=f(x1)(x-x1).l1过点O(0，0)，-f(x1)=f(x1)(0-x1).x13-3ax12+bx1=(3x12-6ax1+b)x1.又x10，x12-3ax1+b=3x12-6ax1+b.2x12-3ax1=0.又x10，.(2)过Pn的切线ln的方程为y-f(xn)=f(xn)(x-xn),又ln过点Pn-1(xn-1,yn-1),f(xn-1)-f(xn)=f(xn)(xn-1-xn).xn-13-3axn-12+bxn-1-xn3+3axn2-bxn=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).(xn-13-xn3)-3a(xn-12-xn2)+b(xn-1-xn)=(3xn2-6axn+b)(xn-1-xn).又xn-1xn,xn-12+xnxn-1+xn2-3a(xn+xn-1)+b=3xn2-6axn+b,xn-12+xnxn-1-2xn2+3a(xn-xn-1)=0.(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0.xn-1+2xn-3a=0,即.同理.(3),xn+1-a=-(xn-a).数列xn-a是等比数列，且公比为-，首项为a.xn-a=a(-)n-1.xn=a-a(-)n.当n为正偶数时，xn=a-a()na;当n为正奇数时，xn=a+a()na.【点拨】本题考查的学问点较多，需要在以前学习的学问的基础上解决.