资源描述
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 的值为( )
A．3 B．－
C. D．－
解析：选D.由题意知f′(1)＝ ＝1，
∴
＝
＝[－f′(1)－f′(1)]＝－.
2．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4＋1
C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x4
解析：选C.由f′(x)＝4x3，可设f(x)＝x4＋c(c为常数)，由f(1)＝－1得－1＝1＋c，∴c＝－2.
3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
解析：选A.由已知g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，
所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4，故选A.
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，
点(0,2)处的切线方程为y－2＝－2x.
令y＝0得x＝1.
由得
∴S＝××1＝.
5．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A．y＝2－3x2 B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝sin x
解析：选C.对于函数y＝，其导数y′＝＜0，
且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求．
6．如图，抛物线的方程是y＝x2－1，则阴影部分的面积是( )
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx－(x2－1)dx
解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：
(1－x2)dx＋(x2－1)dx.
而|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx.故选C.
7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值状况为( )
A．极大值，微小值0
B．极大值0，微小值
C．极大值0，微小值－
D．极大值－，微小值0
解析：选A.f′(x)＝3x2－2px－q.依据题意，得则∴∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.通过分析得，当x＝时，y取极大值；当x＝1时，y取微小值0.
8．已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,0)
B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞)
D．a∈R且a≠0，a≠－1
解析：选B.若存在实数m，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，∵f′(x)＝2sin xcos x＋2a＝sin 2x＋2a，∴方程sin 2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.
9．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x＜0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：选D.令F(x)＝，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝.
∵当x＜0时，F′(x)＞0.
∴F(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
又F(3)＝＝0，
∴F(－3)＝0.
∴当x＜－3时，F(x)＜0；
当－3＜x＜0时，F(x)＞0.
又F(x)为奇函数，
∴当0＜x＜3时，F(x)＜0；
当x＞3时，F(x)＞0.
而不等式f(x)g(x)＜0和＜0为同解不等式(g(x)恒不为0)，
∴不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
10. 函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是( )
A．m＝1，n＝1
B．m＝1，n＝2
C．m＝2，n＝1
D．m＝3，n＝1
解析：选B.观看图象易知，a>0，f(x)在[0,1]上先增后减，但在上有增有减且不对称．
对于选项A，m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)是二次函数，图象应关于直线x＝对称，不符合题意．
对于选项B，m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(x－1)(3x－1)，
令f′(x)≥0，得x≥1或x≤，
∴f(x)在上单调递增，符合题意，选B.
对于选项C，m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝ax(2－3x)，
令f′(x)≥0，得0≤x≤，
∴f(x)在上单调递增，不符合题意．
对于选项D，m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝ax2(3－4x)，
令f′(x)≥0，得0≤x≤，
∴f(x)在上单调递增，不符合题意．
二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)
11．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．
解析：f(x)＝f(－x)⇒f′(x)＝－f′(－x)⇒y＝f′(x)为奇函数，故f′(0)＝0.又f(x)＝f(x＋5)⇒f′(x)＝f′(x＋5)⇒y＝f′(x)为周期函数，周期为5.
由于f′(0)＝0，从而f′(5)＝0.
答案：0
12.dx＝________.
解析：f(x)＝＝－，
取F(x)＝ln x－ln(x＋1)＝ln，
则F′(x)＝－，
所以dx
＝dx
＝＝ln.
答案：ln
13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则的最小值为________．
解析：f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)＞0⇒b＞0.由于对于任意实数x都有f(x)≥0，从而得c＞0，从而＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，当且仅当a＝c时取等号．
答案：2
14. 如图所示，A1，A2，…，Am－1(m≥2)将区间[0,1]m等分，直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ex所围成的区域为Ω1，图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．
解析：依题意，阴影区域Ω2的面积为SΩ2＝(1＋e＋e＋…＋e)＝·；区域Ω1的面积为：SΩ1＝exdx＝e－1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率
答案：
15．若以曲线y＝f(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y＝f(x)具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出全部满足条件的函数的编号)
①y＝x3－x ②y＝x＋ ③y＝sin x ④y＝(x－2)2＋ln x
解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1≠x)使得f′(x1)＝f′(x)．对于①，由f′(x1)＝f′(x)可得x＝x2，但当x＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f′(x1)＝f′(x)可得＝，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1＝－x，使得f′(x1)＝f′(x)；对于③，由f′(x1)＝f′(x)可得cos x1＝cos x，∃x1＝x＋2kπ(k∈Z)，使得f′(x1)＝f′(x)；对于④，由f′(x1)＝f′(x)可得2(x1－2)＋＝2(x－2)＋，整理得x1x＝，但当x＝时不符合题意，综上，答案为②③.
答案：②③
三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．
解：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
由得，故A(，3)；
由得或(舍去)，故B(1,1)；
由得，故C(3,3)．
17．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解：∵f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，
f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数；
∴f(x)在x＝－1时取得微小值．
∴a＝2，b＝9.
18．设曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cos θ.
解：由得x3－x2＋x－1＝0，
即(x－1)(x2＋1)＝0，∴x＝1，∴交点为(1,2)．
又f′(x)＝2x，
∴f′(1)＝2，
∴曲线y＝f(x)在交点处的切线l1的方程为
y－2＝2(x－1)，即y＝2x，又g′(x)＝3x2＋1.
∴g′(1)＝4.
∴曲线y＝g(x)在交点处的切线l2的方程为
y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.
取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为
b＝(1,4)，则cos θ＝＝＝.
19．设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求全部的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
解：(1)由于f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈(1，e)恒成立．
只要
解得a＝e.
20．设函数f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)>0，即x>－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上递增；
当f′(x)<0，即x<－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减．
①当0<a<1时，－ln a>0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－ln a)＝2＋b；
②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)，
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝，
故a＝，b＝.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
