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1．(2021·高考辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( )
A．有极大值，无微小值
B．有微小值，无极大值
C．既有极大值又有微小值
D．既无极大值也无微小值
解析：选D.由题意知f′(x)＝－＝.
令g(x)＝ex－2x2f(x)，
则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)
＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))
＝ex－＝ex.
由g′(x)＝0得x＝2，
当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×＝0，即g(x)≥0，则当x＞0时，f′(x)＝≥0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无微小值．
2．(2022·高考湖南卷)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π] 时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π) 且x≠时，(x－)f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4
C．5 D．8
解析：选B.∵f′(x)＞0，
当＜x＜π时，f′(x)＞0，
∴f(x)在上是增函数．
当0＜x＜时，f′(x)＜0，
∴f(x)在上是减函数．
设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知f(2π－x)＝f(x)．故π≤x≤2π时，0＜f(x)＜1.
依题意作出草图可知，y1＝f(x)与y2＝sin x在[－2π，2π]上有四个交点．
3．(2021·石家庄高三检测)已知等比数列{an}，且a4＋a8＝dx，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
解析：由定积分的几何意义知dx＝π，∴a4＋a8＝π，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝π2.
答案：π2
4．已知函数f(x)＝ex－ae－x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可知，f′(x)＝ex＋ae－x≥2恒成立，分别参数可得，a≥(2－ex)ex恒成立，令ex＝t(t＞0)，问题等价于a≥(－t2＋2t)max＝3.所以a∈[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
5．(2022·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ax2＋1，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a.
又f(1)＝c＝a＋1，∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为y－c＝2a(x－1)，即y－2ax＋a－1＝0.
∵g(x)＝x3＋bx，∴g′(x)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b.
又g(1)＝1＋b＝c，
∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为
y－(1＋b)＝(3＋b)(x－1)，即y－(3＋b)x＋2＝0.
依题意知3＋b＝2a，且a－1＝2，即a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化状况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
6．设函数f(x)＝xex.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)是否存在实数a，使得对任意的x1、x2∈(a，＋∞)，当x1＜x2时恒有＞成立？
若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)f′(x)＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1.
f′(x)，f(x)随x的变化状况如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
微小值
↗
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，单调递增区间是(－1，＋∞)；
f(x)微小值＝f(－1)＝－.
(2)设g(x)＝，由题意，对任意的x1、x2∈(a，＋∞)，当x1＜x2时恒有g(x2)＞g(x1)，即y＝g(x)在(a，＋∞)上是单调递增函数．
又g′(x)＝
＝
＝
＝，
∴∀x∈(a，＋∞)，g′(x)≥0.
令h(x)＝x2ex－axex－aex＋aea，
h′(x)＝2xex＋x2ex－a(1＋x)ex－aex
＝x(x＋2)ex－a(x＋2)ex
＝(x＋2)(x－a)ex.
若a≥－2，当x＞a时，h′(x)＞0，h(x)为(a，＋∞)上的单调递增函数，
∴h(x)＞h(a)＝0，不等式成立．
若a＜－2，当x∈(a，－2)时，h′(x)＜0，h(x)为(a，－2)上的单调递减函数，
∴∃x0∈(a，－2)，h(x0)＜h(a)＝0，与∀x∈(a，＋∞)，h(x)≥0冲突．
综上，a的取值范围为[－2，＋∞)．
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