高中数学(北师大版)必修四教案：2.5-例题讲解：平面向量数量积的应用.docx

平面对量数量积的应用
平面对量的数量积及其性质是平面对量的重点内容，在平面对量中占重要的地位.利用平面对量的数量积及其性质可以处理向量的很多问题.下面举例归纳说明.
一、求向量的长度（模）
求向量的长度的依据是：①；②设，则．
例1　已知，向量与的夹角为，求，．
解：依题意，得，，．
．
同理，.

二、求解两向量的夹角问题
求两非零向量与的夹角的依据是：①；②设，，则．
例2　已知是两个非零向量，且，求与的夹角．
解：设与的夹角为，由，得．
又由，．
而，，
，
，．

三、推断两向量的垂直问题
推断两向量垂直的依据是：①若与为非零向量，则；②设非零向量，，则．
例3　已知，则当实数为何值时，向量与垂直．
解：，
．
，
．
若，则，
．

四、推断多边形的外形
例4在平面四边形中，，，，，
，问该四边形是什么图形？
解：，
，即；同理，．
由题意，明显有；同理，．
四边形是平行四边形．
又．
· 四边形是矩形．

五、求解最值问题
例5　如图1，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值．

解法一：如图2，，．
，

．
故当，即（与方向相同）时，的值最大，其最大值为0．
解法二：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图3所示的平面
直角坐标系．
设，，则，
且，．
设点的坐标为，则．
．
．
，
．
．
故当，即（与方向相同）时，的值最大，其最大值为0．
六、求解探究性问题
例6　已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，请说明理由；若能，求出点坐标．
解：假设存在点使，则．
，
，
．
而在方程中，，
方程无实数解，
故不存在满足条件的点．