资源描述
1．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D.由定积分几何意义可知此封闭图形的面积为cos xdx＝cos xdx
＝2sin＝2＝.
2. 如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6 B．9
C．12 D．3
解析：选B.由
解得交点(－1,2)，(2，－1)，
所以S＝ [(3－x2)－(x2－2x－1)]dx
＝ (－2x2＋2x＋4)dx
＝(－x3＋x2＋4x)
＝9.
3．(2021·德州高二检测)如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
解析：选C.S＝ (3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)|＝.
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为( )
A. J B. J
C. J D．2 J
解析：选C.W＝F(x)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝(5x－x3) ＝(J)．
5．假如某物体以初速度v(0)＝1，加速度a(t)＝4t做直线运动，则质点在t＝2 s时的瞬时速度为( )
A．5 B．7
C．9 D．13
解析：选C.v(2)－v(0)＝a(t)dt＝4tdt＝2t2＝8.
∴v(2)＝9.
6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
解析：阴影部分的面积为S阴影＝3x2dx＝x3|＝1，所以点M取自阴影部分的概率为P＝＝＝.
答案：
7．一物体沿直线以v＝ m/s的速度运动，该物体运动开头后10 s内所经过的路程是________．
解析：s＝∫dt＝(1＋t)|＝(11－1)．
答案：(11－1)
8．(2022·高考山东卷)设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝______.
解析：S＝dx＝x＝a＝a2，∴a＝.
答案：
9．(2021·邯郸高二检测)某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系：
v(t)＝某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min行使的路程超过7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟选择的对象之一？
解：由变速直线运动的路程公式，得
s＝∫t2dt＋(4t＋60)dt＋140dt
＝t3＋(2t2＋60t) ＋140t
＝7 133(m)＜7 673(m)．
∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟选择的对象之一．
10．求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x围成图形的面积．
解：法一：画出图形，如图．
解方程组及
及
得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
∴S＝[－]dx＋[(2－x)－]dx
＝dx＋dx
＝＋＋
＝＋6－×9－2＋＝2 ＝.
法二：若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y，三个上、下限值为－1,0,1.
∴S＝ [(2－y)－(－3y)]dy＋[(2－y)－y2]dy
＝ (2＋2y)dy＋(2－y－y2)dy
＝(2y＋y2) ＋
＝－(－2＋1)＋2－－＝.
1．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a＞0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为( )
A．y＝ax B．y＝±ax
C．y＝－ax D．y＝－5ax
解析：选A.明显，直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx，
由得
交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)，
图形面积S＝∫[kx－(x2－2ax)]dx
＝(x2－)|
＝－＝
＝a3，
∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选A.
2．火车紧急刹车的速度v(t)＝10－t＋ m/s，则刹车后行驶的距离约为________m．(精确到0.1 m)
解析：停止时v(t)＝10－t＋＝0，即t2－8t－128＝0.
解得t＝16(s)．
∴s＝∫dt
＝[10t－t2＋108ln(t＋2)]
＝160－128＋108(ln 18－ln 2)
＝32＋216ln 3≈269.3(m)．
答案：269.3
3．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小．
解：S1＝(t2－x2)dx＝
＝t3－t3＝t3，
S2＝(x2－t2)dx＝
＝t3－t2＋.
∴阴影部分的面积
S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
∴S′(t)＝4t2－2t.
令S′(t)＝0得t＝0或t＝.
又S(0)＝，S＝，S(1)＝，
∴当t＝时，S有最小值Smin＝.
4．已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.
证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．
证明：曲线C在点P1处的切线方程为y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1，即y＝(3x－1)x－2x，
由得x3－x＝(3x－1)x－2x，
即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，解得x＝x1或x＝－2x1，
∴x2＝－2x1，
∴S1＝
＝－2x1x1＝x，
用x2代替x1，重复上述计算过程，可得
x3＝－2x2和S2＝x，
又x2＝－2x1≠0，∴S2＝x≠0，∴＝.
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