资源描述
1．(2021·茂名质检)和式 (xi－3)等于( )
A．(x1－3)＋(x10－3)
B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3
C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30
D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)
解析：选C. (xi－3)＝(x1－3)＋(x2－3)＋(x3－3)＋…＋(x10－3)＝(x1＋x2＋…＋x10)－30.
2．(2021·邢台高二检测)在求由函数y＝与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为( )
A. B.
C．[i－1，i] D.
解析：选B.把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1，故选B.
3．函数f(x)＝x2在区间上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析：选D.当n很大时，与的值几乎相等，相应的函数值差别不大，故选D.
4．(2021·台州高二检测)对于由函数y＝x3和直线x＝1，y＝0围成的曲边梯形，把区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi取值均为小区间的左端点)是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.S＝0×＋()3×＋()3×＝.
5．已知甲、乙两车由同一起点同时动身，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列推断中确定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：选A.由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.
6．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为________．
解析：区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
答案：
7．假如汽车做匀变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．
解析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.
答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2
8．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
9．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，求在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程．
解：将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则
Δt＝，v(ξi)＝v
＝3＋2＝(i－1)＋5.
∴sn＝·
＝·
＝·＋5＝＋5.
∴s＝lisn＝＋5＝6.5.
10．(2021·潍坊高二检测)求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2所围成的图形的面积．
解：(1)分割
将区间[0,1]等分成n个小区间：
[0，]，[，]，…，[，]，…，[，1]．
每个小区间的长度为Δx＝.
过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间[，]上，用处的函数值()2作为高，以小区间的长度Δx＝作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈()2·.
(3)求和
曲边梯形的面积为
Sn＝Si≈()2·
＝[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·
＝(1－)(2＋)．
(4)取极限
S＝liSn＝×1×2＝.
∴所围图形的面积为.
1．在等分区间的状况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )
A．li
B．li
C．li
D．li
解析：选B.将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝，第i个小区间为(i＝1,2,3，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为li.
2．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sin nx在(n∈N*)上的面积为，则y＝sin 3x在上的面积为________．
解析：由于y＝sin nx在(n∈N*)上的面积为，则y＝sin 3x在上的面积为.而y＝sin 3x周期为，所以y＝sin 3x在上的面积为×2＝.
答案：
3．一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t的速度v(t)＝，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
解：(1)分割
把区间[1,2]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，
每个区间的长度Δt＝，每个时间段行驶的路程记为
Δsi(i＝1,2，…，n)．
故路程和sn＝si.
(2)近似代替
当n很大时，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为等于f( )，局部小范围内“以直代曲”，则有
Δsi≈f( )Δx
＝·
＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn≈
＝6n(－＋－＋…＋－)
＝6n(－)．
(4)取极限
s＝lisn＝li6n(－)＝3.
4．求y＝x3与x＝0，y＝±2围成的图形的面积．
解：所求面积如图阴影部分，由对称性知S1＝S2，故所求面积为2S1.先求y＝x3与y＝0，x＝0，x＝2围成的面积S1′如下：
(1)分割：将[0,2]分成n等份(i＝1,2,3，…，n)，每个小区间距离为Δx＝.
(2)近似代替：ΔSi＝f(ξi)Δx＝3Δx.
(3)求和：S＝Si≈3Δx＝3.
(4)求极限：S
＝li
＝li
＝li
＝li ＝4.
所以由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积S1′＝4，∴S1＝2×8－4＝12.
故所求面积为S＝2S1＝24.
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