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第十二章 推理证明、算法、复数
第1讲 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )．
解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
答案 A
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①和②
解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．
答案 B
3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；
④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．
其中类比结论正确的个数有 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 类比结论正确的只有①②.
答案 B
4．观看下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为 ( )．
A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125
解析 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)
∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.
答案 D
5．为提高信息在传输中的抗干扰力气，通常在原信息中按确定规章加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规章为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息确定有误的是( )．
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
解析 对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规章知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.
答案 C
6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数．
比如：
他们争辩过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析 观看三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观看正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案 C
二、填空题
7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
解析 (构造法)通过类比可得R＝.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
答案
8．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．
解析 按拼图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图有白色地砖3×5－2(块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.
答案 503
9．对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S1＝；其次步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，到第n步，所得图形的面积Sn＝n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积Vn＝________.
解析 对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成3×3×3个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新1几何体，其体积V1＝＝；其次步，将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新2几何体，其体积V2＝2；…，依此类推，到第n步，所得新n几何体的体积Vn＝n.
答案 n
10．设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原挨次依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；
(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．
解析 (1)当N＝16时，P1＝x1x3x5x7x9…x16，此时x7在第一段内，再把这段变换x7位于偶数位的第2个位置，故在P2中，x7位于后半段的第2个位置，即在P2中x7位于第6个位置．
(2)在P1中，x173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P2中x173位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得P3时，x173位于八段中其次段的第22个位置上，再作变换时，x173位于十六段中的第四段的第11个位置上，也就是位于P4中的第(3×2n－4＋11)个位置上．
答案 6 3×2n－4＋11
三、解答题
11．给出下面的数表序列：
…
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解 表4为 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成首项为n，公比为2的等比数列．
12．某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
13．观看下表：
1，
2,3
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
…
问：(1)此表第n行的最终一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 013是第几行的第几个数？
解 (1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最终一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048，
∴2 013在第11行，该行第1个数是210＝1 024，
由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．
14．将各项均为正数的数列{an}中的全部项按每一行比上一行多一项的规章排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a1，a2，a4，a7，…，构成数列{bn}，各行的最终一个数a1，a3，a6，a10，…，构成数列{cn}，第n行全部数的和为Sn(n＝1,2,3,4，…)．已知数列{bn}是公差为d的等差数列，从其次行起，每一行中的数依据从左到右的挨次每一个数与它前面一个数的比是常数q，且a1＝a13＝1，a31＝.
(1)求数列{cn}，{Sn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Tn的表达式．
解 (1)bn＝dn－d＋1，前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝个数，由于13＝＋3，所以a13＝b5×q2，
即(4d＋1)q2＝1，又由于31＝＋3，所以a31＝b8×q2，
即(7d＋1)q2＝，解得d＝2，q＝，
所以bn＝2n－1，cn＝bnn－1＝，
Sn＝＝(2n－1)·.
(2)Tn＝＋＋＋…＋， ①
Tn＝＋＋＋…＋. ②
①②两式相减，得
Tn＝1＋2－
＝1＋2×－＝2－，
所以Tn＝3－.
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