2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第12篇-第1讲-合情推理与演绎推理.docx

第1讲合情推理与演绎推理最新考纲1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简洁的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用2了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简洁推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所争辩的特殊状况；结论依据一般原理，对特殊状况作出的推断辨 析 感 悟1对合情推理的生疏(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确()(2)由平面三角形的性质推想空间四周体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(5)(2022安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四周体的棱长比为12，则它们的体积比为18.()2对演绎推理的生疏(6)“全部3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m肯定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确()感悟提升三点提示一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不肯定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，假如大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的假如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的如(7)同学用书第200页考点一归纳推理【例1】 (2021湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推想N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析由N(n,3)n2n，N(n,4)n2n，N(n,5)n2n，N(n,6)n2n，推想N(n，k)n2n，k3.从而N(n,24)11n210n，N(10,24)1 000.答案1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不肯定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越牢靠，它是一种发觉一般性规律的重要方法【训练1】 (1)(2022佛山质检)观看下列不等式：1；.则第5个不等式为_(2)(2021陕西卷)观看下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n135(2n1)答案(1)(2)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)考点二类比推理【例2】 在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四周体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四周体的体积为_”审题路线三角形面积类比为四周体的体积三角形的边长类比为四周体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的得出结论答案V四周体ABCD(S1S2S3S4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要留意形式的类比，还要留意方法的类比，且要留意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观看发觉Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观看发觉VS.则四维空间中“超球”的四维测度W2r4，猜想其三维测度V_.解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即VW(2r4)8r3.答案8r3考点三演绎推理【例3】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10， (小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)， (小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)同学用书第201页规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则可以省略【训练3】 “由于对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”，以上推理的错误是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误解析当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案A1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学争辩中，在得到一个新结论前，合情推理能挂念猜想和发觉结论，在证明一个数学结论之前，合情推理经常能为证明供应思路与方向2演绎推理是从一般的原理动身，推出某个特殊状况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不肯定正确而演绎推理得到的结论肯定正确(前提和推理形式都正确的前提下)创新突破12新定义下的归纳推理【典例】 (2021湖南卷)对于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21,1j98，则PQ的元素个数为_突破1：读懂信息，对于集合Xai1，ai2，aik来说，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100是一个新的数列，该数列的xi1xi2xik1，其余项均为0.突破2：通过例子：“子集a2，a3的特征数列为0,1,1,0，0，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.突破3：依据p11，pipi11可写出子集P的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，1,0，归纳出子集P；同理，子集Q的特征数列为1,0,0,1,0,0，1,0,0，归纳出子集Q.突破4：由P与Q的前几项的规律，找出子集P与子集Q的公共元素即可解析(1)依据题意可知子集a1，a3，a5的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，0，此数列前3项和为2.(2)依据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，1,0，则Pa1，a3，a2n1，a99(1n50)，子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，1,0,0,1，则Qa1，a4，a3k2，a100(1k34)，则PQa1，a7，a13，a97，共有17项答案(1)2(2)17反思感悟 此类问题肯定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观看，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有肯定的规律推理力量【自主体验】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析已知f(x1)f(x2)f(xn)f， (大前提)由于f(x)sin x在(0，)上是凸函数，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(结论)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案对应同学用书P379基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确答案C2观看(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案D3(2022江西卷)观看下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123 D199解析从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C4(2022长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D解析阅历证易知错误依题意，留意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选B.答案B5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析正确；错误答案B二、填空题6(2022西安五校联考)观看下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出结论：_.解析各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1)，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_答案数列为等比数列，且通项为b1()n18(2022揭阳一模)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n个等式：_.答案2cos 三、解答题9给出下面的数表序列：表1表2表31131354 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的挨次构成首项为n，公比为2的等比数列10f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2022江西卷)观看下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D92解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.故选B.答案B2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数比如：他们争辩过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024 C1 225 D1 378解析观看三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观看正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案C二、填空题3在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观看图形可知：S(2)3，N1，L6.(2)由(1)知，S四边形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S4，N1，L8.则Sa8bc4.联立解得a1，b.c1.SNL1，若某格点多边形对应的N71，L18，则S7118179.答案(1)3,1,6(2)79三、解答题4(2022福建卷)某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.同学用书第202页