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第4讲 算法与程序框图
[最新考纲]
1．了解算法的含义，了解算法的思想．
2．理解程序框图的三种基本规律结构：挨次、条件、循环．
3．了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)．
4．能绘制简洁实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．
5．了解结构图，会运用结构图梳理已学过的学问，整理收集到的资料信息.
知 识 梳 理
1．算法通常是指依据肯定规章解决某一类问题的明确和有限的步骤．
2．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带方向箭头，依据算法步骤的执行挨次将程序框连接起来．
3．三种基本规律结构
(1)挨次结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．
其结构形式为
(2)条件结构是指算法的流程依据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．
其结构形式为
(3)循环结构是指从某处开头，依据肯定的条件反复执行某些步骤的状况．反复执行的步骤称为循环体．循环结构又分为当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)．
其结构形式为
同学用书第209页
4.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句
一般格式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；变量
输入信息
输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式所代表的值赋给变量
5.条件语句
(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应．
(2)条件语句的格式．
6．循环语句
(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应．
(2)循环语句的格式．
辨 析 感 悟
1．对算法概念的生疏
(1)任何算法必有条件结构．(×)
(2)算法可以无限操作下去．(×)
2．对程序框图的生疏
(3)▱是赋值框，有计算功能．(×)
(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．(×)
(5)(2021·广东卷改编)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为7.(√)
3．对算法语句的理解
(6)5＝x是赋值语句．(×)
(7)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)
[感悟·提升]
三点提示 一是利用循环结构表示算法，肯定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先推断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再推断；
二是留意输入框、处理框、推断框的功能，不行混用，如(3)；
三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．
考点一 基本规律结构
【例1】 (1)(2021·浙江卷)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则( )．
A．a＝4 B．a＝5 C．a＝6 D．a＝7
(2)(2021·山东卷)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．
解析 (1)依框图知：当k＞a时，S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－.当S＝时，k＝4，故由程序框图可知k＝4＞a不成立，k＝5＞a成立，所以a＝4.
(2)由程序框图可知：
第一次运行：F1＝1＋2＝3，F0＝3－1＝2，n＝1＋1＝2，＝＞ε，不满足要求，连续运行；
其次次运行：F1＝2＋3＝5，F0＝5－2＝3，n＝2＋1＝3，＝＝0.2＜ε，满足条件．
结束运行，输出n＝3.
答案 (1)A (2)3
规律方法 此类问题的一般解法是严格依据程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次推断是否满足推断框内的条件，打算循环是否结束．要留意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，把握循环体等关键环节．
【训练1】 (2021·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( ).
同学用书第210页
A．7 B．6 C．5 D．4
解析 第1次，S＝－1，不满足推断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足推断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足推断框内的条件；第4次，n＝4，S＝2，满足推断框内的条件，结束循环，所以输出的n＝4.
答案 D
考点二 程序框图的识别与应用问题
【例2】 (1)(2021·新课标全国Ⅱ卷)执行如图1的程序框图，假如输入的N＝4，那么输出的S＝( )．
图1 图2
A．1＋＋＋
B．1＋＋＋
C．1＋＋＋＋
D．1＋＋＋＋
(2)(2021·重庆卷)执行如图2所示的程序框图，假如输出s＝3，那么推断框内应填入的条件是( )．
A．k≤6? B．k≤7? C．k≤8? D．k≤9?
解析 (1)由框图知循环状况为：T＝1，S＝1，k＝2；T＝，S＝1＋，k＝3；T＝，S＝1＋＋，k＝4；T＝，S＝1＋＋＋，k＝5＞4，故输出S.
(2)首次进入循环体，s＝1×log23，k＝3；其次次进入循环体，s＝×＝2，k＝4；依次循环，第六次进入循环体，s＝3，k＝8，此时终止循环，则推断框内填k≤7？.
答案 (1)B (2)B
规律方法 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的挨次结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)依据题目的要求完成解答并验证．
【训练2】 (2021·福建卷)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是( )．
A．计算数列{2n－1}的前10项和
B．计算数列{2n－1}的前9项和
C．计算数列{2n－1}的前10项和
D．计算数列{2n－1}的前9项和
解析 由程序框图可知：输出S＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n－1}的前10项的和．
答案 A
考点三 基本算法语句
【例3】 (1)(2021·陕西卷)依据图1算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )．
图1 图2
A．25 B．30
C．31 D．61
(2)依据图2的程序写出相应的算法功能为________．
解析 (1)通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数y＝f(x)＝
∴y＝f(60)＝25＋0.6×(60－50)＝31.
(2)该程序是计算1～999中连续奇数的平方和．
答案 (1)C (2)求和：12＋32＋52＋…＋9992
规律方法 输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不行少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，肯定要留意其格式的要求，如“＝”的右侧必需是表达式，左侧必需是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，从前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“推断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语句．
【训练3】 (1)请写出图1运算输出的结果为________．
图1
同学用书第211页
(2)为了在运行图2的程序之后得到结果y＝16，则键盘输入的x应当是________．
图2
解析 (1)语句c＝a＋b是将a，b的和赋值给c，故c＝2＋3＝5；语句b＝a＋c－b是将a＋c－b的值赋值给b.故b＝2＋5－3＝4.输出的结果为：2,4,5.
(2)∵算法语句一个分段函数f(x)＝
∴当x＜0时，令(x＋1)2＝16，∴x＝－5；
当x≥0时，令(x－1)2＝16，∴x＝5，∴x＝±5.
答案 (1)2,4,5 (2)±5
1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、规律性、有穷性、不唯一性、普遍性．
2．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分状况争辩，只用挨次结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种状况争辩时，就必需引入条件结构；若所要解决的问题要进行很多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必需引入变量，应用循环结构．
3．程序框图的条件结构和循环结构分别对应算法语句的条件语句和循环语句，两种语句的阅读理解是复习重点．
易错辨析13——弄错循环次数致误
【典例】 (2021·湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.
[解析] a＝10≠4且a是偶数，则a＝＝5，i＝2；
a＝5≠4且a是奇数，则a＝3×5＋1＝16，i＝3；
a＝16≠4且a是偶数，则a＝＝8，i＝4；
a＝8≠4且a是偶数，则a＝＝4，i＝5.
所以输出的结果i＝5.
[答案] 5
[易错警示] 循环条件弄错，多计一次或者少计一次而得到错误结果．
[防范措施] (1)解决程序框图问题要留意的三个常用变量
①计数变量：用来记录某个大事发生的次数，如i＝i＋1.
②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；
③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，打算循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，留意要统计的数的消灭次数与循环次数的区分．
【自主体验】
(1)(2021·辽宁卷)执行如图1所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S＝( )．
A.
B.
C.
D.
图1 图2
(2)(2022·杭州二检)若某程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的值是________．
解析 (1)S＝S＋的意义在于对求和．
由于＝，同时留意i＝i＋2，所以所求的S＝＝.
(2)程序是计算＋＋…＋＝1－的值，依据推断条件，需要计算到1－，此时的k＝6.
答案 (1)A (2)6
对应同学用书P385
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·新课标全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图，
假如输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析 作出分段函数s＝
的图象(图略)，可知函数s在[－1,2]上单调递增，
在[2,3]上单调递减，s(－1)＝－3，s(2)＝4，s(3)＝3，∴t∈[－1,3]时，s∈[－3,4]．
答案 A
2.(2021·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．
A．1 B. C. D.
解析 初始条件i＝0，S＝1，逐次计算结果是S＝，i＝1；S＝，i＝2，此时满足输出条件，故输出S＝.
答案 C
3．(2021·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．
A. B. C. D.
解析 S＝0＋＋＋＝.
答案 D
4．(2022·南昌模拟)假如执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则推断框内应填入的条件是( )．
A．k＜10? B．k≥11? C．k≤10? D．k＞11?
解析 由程序可知该程序是计算S＝2＋4＋…＋2k＝＝k(k＋1)，由S＝k(k＋1)＝110得k＝10，则当k＝10时，k＝k＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为k≤10？，故选C.
答案 C
5．(2022·枣庄模拟)如图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，
则推断框中整数M的值是( )．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 本程序计算的是S＝1＋2＋22＋…＋2A，即S＝＝2A＋1－1，由2A＋1－1＝31得2A＋1＝32，解得A＝4，则A＋1＝5时，条件不成立，所以M＝4.
答案 B
二、填空题
6．(2021·湖南卷)执行如图所示的程序框图，假如输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
解析 第一次循环，a＝1＋2＝3，其次次循环，a＝3＋2＝5，第三次循环，a＝5＋2＝7，第四次循环，a＝7＋2＝9＞8，满足条件，输出a＝9.
答案 9
7．(2021·江苏卷)
如图是一个算法的程序框图，则输出的n的值是________．
解析 第一次循环：a＝8，n＝2；其次次循环：a＝26，n＝3.
答案 3
8．(2022·临沂一模)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是________．
解析 第一次循环，S＝20＝1，k＝1；其次次循环，S＝1＋21＝3，k＝2；第三次循环，S＝3＋23＝11，k＝3；第四次循环，S＝11＋211，k＝4；第五次循环S＝11＋211≤100不成立，输出k＝4.
答案 4
三、解答题
9．某工种按工时计算工资，每月总工资＝每月劳动时间(小时)×每小时工资，从总工资中扣除10%作公积金，剩余的为应发工资，当输入劳动时间和每小时工资数时，试编写一个算法输出应发工资，画出程序框图．
解 算法如下：
第一步，输入每月劳动时间t和每小时工资a；
其次步，求每月总工资y＝每月劳动时间t×每小时工资a；
第三步，求应发工资z＝每月总工资y×(1－10%)；
第四步，输出应发工资z.
程序框图如图：
10．画出计算S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图．
解 如图所示：
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·丽水模拟)依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的程序框图，并编写了相应的程序．已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位：元)是( )．
A．3.6 B．5.2 C．6.2 D．7.2
解析 当n＝4时，S＝5＋1.2×(4－3)＝6.2.
答案 C
2．(2022·陕西卷)如图是计算某班级500名同学期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入( )．
A．q＝ B．q＝
C．q＝ D．q＝
解析 由框图知，xi≥60的人数为M，xi<60的人数为N，故空白处填及格率q＝.
答案 D
二、填空题
3．(2022·淄博二模)
执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．
解析 由a≥b得x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.所以当x≤1时，由a＝x2＝8，解得x＝－＝－2.若x＞1，由b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2.
答案 2或－2
三、解答题
4．到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取肯定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费，设计一个描述汇款额x元，银行收取手续费y元的算法．试画出程序框图．
解 由题意可知，y＝
算法如下：
第一步：输入x.
其次步：若0＜x≤100，则y＝1；否则执行第三步．
第三步：若x≤5 000，则y＝0.01；否则y＝50.
第四步：输出y.
程序框图如下：
同学用书第212页
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