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第8讲 曲线与方程
[最新考纲]
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法争辩曲线的简洁性质．
3．能够依据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
知 识 梳 理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
辨 析 感 悟
1．曲线与方程的概念
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)
(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件． (×)
(3)(教材习题改编)方程y＝与x＝y2表示同一曲线． (×)
(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线． (×)
2．求曲线的轨迹方程
(5)到两条相互垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)
(6)两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R)交点的轨迹方程是3x－2y＝0. (√)
(7)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线． (√)
(8)(2022·济南质检)过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是＋＝1. (√)
[感悟·提升]
1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如(2)错误理解了曲线方程的含义．
2．求轨迹方程，要留意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
同学用书第154页
考点一 直接法求轨迹方程
【例1】 如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1)求mn的值；
(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
解 (1)由·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn.
得－2mn＝－，∴mn＝.
(2)设P(x，y)(x>0)，由＝＋，
得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)．
∴整理得x2－＝4mn，
又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1(x>0)．
它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．
规律方法 (1)一是解本题第(2)时，依据
利用第(1)问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2)假如动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．
【训练1】 (2021·陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．
解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，
化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)
也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
考点二 定义法(待定系数法)求轨迹方程
【例2】 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
解 如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，
当动圆与圆O1相外切时，
有|O1M|＝R＋2.①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.②
将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|，
∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)，O2(3,0)，
长轴长等于12的椭圆．
∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，
∴圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆．
规律方法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接依据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是精确 应用解析几何中有关曲线的定义．
【训练2】 如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，
点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
解 圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，
∵·＝0，＝2，
∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，
∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，
又|AC|＝2>2，依据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
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考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程
【例3】 (2022·辽宁卷)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1
相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
审题路线 (1)设出点A的坐标⇒利用对称性表示S矩形ABCD，并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件⇒进而求出t值．(2)点M受点A的变化制约⇒依据点A满足的方程求出点M的轨迹方程．
解 (1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，
由＋y＝1得y＝1－，
从而xy＝x＝－2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6.
从而t2＝x＋y＝5，t＝，
∴当t＝时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
规律方法 (1)一是本题的轨迹方程中，要求x<－3，y<0，所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程④的整体代入，避开繁琐运算，优化解题过程．
(2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或简洁求得的，则可先将x′，y′表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．
【训练3】 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被C所截线段的长度．
解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由于点D是P在x轴上投影M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y，
∵P在圆x2＋y2＝25上，
∴x2＋2＝25，整理得＋＝1，
即C的方程是＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，
设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：
＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，
∴x1＝，x2＝，
所以线段AB的长度是|AB|＝ ＝ ＝，即所截线段的长度是.
1．通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的争辩，明确曲线的位置、外形以及性质是解析几何的核心问题．
2．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依靠于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
教你审题10——设而不求、整体代换
【典例】 (2021·山东卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，❶连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．❷设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，❸并求出这个定值．
[审题] 一审条件❶：可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程
二审条件❷：联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0
三审结论❸：变为，把k与＋均用x0，y0表示后可消去．
解 (1)椭圆C的方程为＋y2＝1(过程略)．
(2)m的取值范围是(过程略)．
(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立整理得
(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
由题意，得Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，
即(4y0k＋x0)2＝0.故k＝－.
由椭圆C可得F1(－，0)，F2(，0)，又P(x0，y0)，所以＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8.
因此＋为定值，这个定值为－8.
[反思感悟] 对题目涉及的变量奇妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，削减计算”的效果，直接得定值．
【自主体验】
(2021·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＋＝0，
又由于x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是( )．
A．一条直线和一条双曲线 B．两条直线
C．两个点 D．4条直线
解析 由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得
∴或
即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．
答案 C
2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是( )．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析 ∵·＝0，∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
答案 A
3．(2022·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为( )．
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案 B
4．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点( )．
A．(2,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1)
解析 直线x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，由抛物线定义知，动圆肯定过抛物线的焦点(1,0)．
答案 B
5．(2022·广州调研)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内肯定点，M是圆周上一动点，
把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )．
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
答案 A
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是________________．
解析 ＝－(－2，y)＝，
＝(x，y)－＝，
∵⊥，∴·＝0，
∴·＝0，即y2＝8x.
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案 y2＝8x
7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，假如动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得
(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，
∴圆的面积S＝π×22＝4π.
答案 4π
8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程______________．
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10.
依据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案 －＝1(x>3)
三、解答题
9．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．
解 (1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．
由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，
得(x0－x，－y)＝(0，－y0)．
于是x0＝x且y0＝y，
又x＋y＝4，∴x2＋y2＝4.
∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得7x2＋8x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，且x1x2＝－.
则|AB|＝＝|x2－x1|
＝·＝·＝.
10．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点作直线l，与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．
解 (1)设P点的坐标为(x，y)，
依题意得·＝－(x≠±2)，
化简并整理得＋＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2)．
(2)依题意得，直线l过点，且斜率不为零，
故可设其方程为x＝my＋.
由，消去x得
4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，
∴y1＋y2＝－，∴y0＝＝－，
∴x0＝my0＋＝，∴k＝＝，
①当m＝0时，k＝0，
②当m≠0时，k＝，又|4m＋|＝4|m|＋≥8，
∴0<|k|≤，∴－≤k≤，且k≠0，
综合①②，直线AM的斜率k的取值范围是.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内肯定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 D
2．有一动圆P恒过定点F(1,0)，且与y轴相交于点A，B，若△ABP为等边三角形，则圆心P的轨迹方程是( )．
A.－＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.－＝1
解 设圆心P(x，y)，半径为R，由圆的几何性质，|x|＝R，又R＝|PF|＝，所以2|x|＝·，即(x＋3)2－3y2＝12，∴点P的轨迹方程为－＝1.
答案 A
二、填空题
3．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析 由椭圆的对称性，＋＝2，∴＝2，即＝－2，设点Q(x，y)，则P，由点P在椭圆上，得＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答题
4．(2021·四川卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
解 (1)由椭圆定义知
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2.
所以a＝.
又由已知得，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
(i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.
(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
由于M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则
|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得
x2＝.③
由于点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞，可知0＜x2＜，
即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，
故x∈.
由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，
又由10(y－2)2＝18＋3x2有
(y－2)2∈，且－1≤y≤1，则y∈.
所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
同学用书第156页
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