资源描述
第1讲 随机抽样
[最新考纲]
1．理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
知 识 梳 理
1．简洁随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样．
(2)最常用的简洁随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)编号：先将总体的N个个体编号；
(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)确定首个个体：在第1段用简洁随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)猎取样本：依据肯定的规章抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到猎取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
辨 析 感 悟
1．对简洁随机抽样的生疏
(1)(教材思考问题改编)在简洁随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．(×)
(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简洁随机抽样．(×)
2．对系统抽样的理解
(3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体．(√)
(4)要从1 002个同学中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个同学，这样对被剔除者不公正．(×)
3．对分层抽样的理解
(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)
(6)(2022·郑州模拟改编)某校即将召开同学代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．(√)
(7)(2021·湖南卷改编)某学校有男、女同学各500名．为了解男、女同学在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体同学中抽取100名同学进行调查，则宜接受的抽样方法是分层抽样．(√)
[感悟·提升]
两点提示 一是简洁随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样，如(2)．
二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，如(1)、(4)、(5).
考点一 简洁随机抽样
【例1】 下列抽取样本的方式是否属于简洁随机抽样？
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛．
解 (1)不是简洁随机抽样．由于被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的．
(2)不是简洁随机抽样．由于它是放回抽样．
(3)不是简洁随机抽样．由于这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
(4)不是简洁随机抽样．由于指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
规律方法 (1)简洁随机抽样需满足；①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．
(2)简洁随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的状况)、随机数表法(适用于个体数较多的状况)．
【训练1】 下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )．
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
答案 B
考点二 系统抽样
【例2】 接受系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )．
A．7 B．9 C．10 D．15
解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，由于第一组抽到的号码为9，则其次组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C.
答案 C
规律方法 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
(3)起始编号的确定应用简洁随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．
【训练2】 (1)从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行放射试验，若接受每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )．
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32
(2)(2022·临沂模拟)某班共有52人，现依据同学的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )．
A．10 B．11 C．12 D．16
解析 (1)间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.
(2)由于29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16.
答案 (1)B (2)D
考点三 分层抽样
【例3】 (2022·兰州模拟)某学校三个爱好小组的同学人数分布如下表(每名同学只参与一个小组)(单位：人)
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参与这三个爱好小组的同学中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
解析 由于＝，所以解得a＝30.
答案 30
规律方法 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
【训练3】 (1)(2022·江苏卷)某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，则应从高二班级抽取________名同学．
(2)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析 (1)高二班级同学人数占总数的＝.样本容量为50，则高二班级抽取：50×＝15(名)同学．
(2)由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
答案 (1)15 (2)15
1．三种抽样方法的联系
三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公正性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是.
2．各种抽样方法的特点
(1)简洁随机抽样的特点：总体中的个体性质相像，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简洁随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距．
(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，接受简洁随机抽样．
(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的状况；分层后，在每一层抽样时可接受简洁随机抽样或系统抽样．
创新突破8——抽样方法与概率的交汇问题
【典例】 (2022·天津卷)某地区有学校21所，中学14所，高校7所，现接受分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对同学进行视力调查．
(1)求应从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出全部可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为学校的概率．
突破1：确定分层抽样中的每层所占的比例．
突破2：用列举法列出全部可能抽取的结果．
突破3：利用古典概型的计算公式计算．
解 (1)由分层抽样的定义知，从学校中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中抽取的学校数目为6×＝2；从高校中抽取的学校数目为6×＝1.
则从学校、中学、高校分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所学校分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，高校记为A6，则抽取2所学校的全部可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为学校(记为大事B)的全部可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
[反思感悟] 分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且一般会有图表，求解时简洁造成失误，平常需留意多训练此类型的题目．
【自主体验】
(2022·潮州模拟)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受训练程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
争辩生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为争辩生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.
抽取的样本中有争辩生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的全部等可能基本大事共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，
其中至少有1人的学历为争辩生的基本大事有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人学历为争辩生的概率为.
(2)由题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴＝＝，
解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一班级1 000名同学的考试成果，从中随机抽取了100名同学的成果单，就这个问题来说，下面说法正确的是( )．
A．1 000名同学是总体
B．每个同学是个体
C．1 000名同学的成果是一个个体
D．样本的容量是100
解析 1 000名同学的成果是总体，其容量是1 000,100名同学的成果组成样本，其容量是100.
答案 D
2．(2021·新课标全国Ⅰ卷)为了解某地区的中学校生的视力状况，拟从该地区的中学校生中抽取部分同学进行调查，事先已了解到该地区学校、学校、高中三个学段同学的视力状况有较大差异，而男女生视力状况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．
A．简洁随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
解析 由于男女生视力状况差异不大，而学段的视力状况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C.
答案 C
3．(2022·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )．
A．54 B．90 C．45 D．126
解析 依题意有×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90.
答案 B
4．(2021·江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ).
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A．08 B．07
C．02 D．01
解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
答案 D
5．(2022·石家庄模拟)某学校高三班级一班共有60名同学，现接受系统抽样的方法从中抽取6名同学做“早餐与健康”的调查，为此将同学编号为1,2，…，60.选取的这6名同学的编号可能是( )．
A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56
C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54
解析 系统抽样是等间隔抽样．
答案 B
二、填空题
6．(2022·成都模拟)某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．
解析 甲组中应抽取的城市数为×4＝1.
答案 1
7．某校高级职称老师26人，中级职称老师104人，其他老师若干人．为了了解该校老师的工资收入状况，按分层抽样从该校的全部老师中抽取56人进行调查，已知从其他老师中共抽取了16人，则该校共有老师________人．
解析 设其他老师为x人，则＝，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．
答案 182
8．(2022·青岛模拟)某班级有50名同学，现要实行系统抽样的方法在这50名同学中抽出10名同学，将这50名同学随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，其次组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的同学，则在第八组中抽得号码为________的同学．
解析 由于12＝5×2＋2，即第三组抽出的是其次个同学，所以每一组都相应抽出其次个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．
答案 37
三、解答题
9．某初级中学共有同学2 000名，各班级男、女生人数如下表：
初一班级
初二班级
初三班级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校同学中随机抽取1名，抽到初二班级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，问应在初三班级抽取多少名？
解 (1)∵＝0.19.∴x＝380.
(2)初三班级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名同学，应在初三班级抽取的人数为：×500＝12名．
10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
解 用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后接受抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人接受00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则其次车间生产的产品数为( )．
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
解析 由于a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即其次车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，其次车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1 200双皮靴．
答案 C
2．将参与夏令营的600名同学编号为：001,002，…，600，接受系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名同学分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )．
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析 由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．
答案 B
二、填空题
3.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，接受系统抽样方法，按1～200编号为40组，
分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为______．若接受分层抽样，
40岁以下年龄段应抽取________人．
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x人，则＝，解得x＝20.
答案 37 20
三、解答题
4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应当抽取几名？
(2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
解 (1)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝×5＝3(名)．
(2)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机大事“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本大事有6种：
Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，
故所求概率为P(A)＝＝.
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