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高二数学期中考试试题
2021/11
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）
1.平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）
A（0，1） B． （1，0） C． D．
3.过抛物线的焦点作直线交抛物线与两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（ ）
A．10 B．8 C． 6 D．4
4.已知p：x≥k，q：＜1，假如p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． [2，+∞） B． （2，+∞） C． [1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）
5.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为( )
A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x
6.已知抛物线方程为，点的坐标为为抛物线上动点，则点P到准线的距离和到点Q的距离之和的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
7.已知、为双曲线：的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限. 若，则内切圆半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
8.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（ ）
A． B． 3 C． D．
10.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）
11.命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
12.是锐二面角的内一点,于点到的距离为，则二面角 的平面角大小为————
13.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是 ．
14.如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
15.已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为 ;
三、解答题（本题共6道小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
已知a＞0，命题p：∀x＞0，x+≥2恒成立，命题q：∀k∈R，直线kx﹣y+2=0与椭圆x2+=1有公共点，求使得p∨q为真命题，p∧q为假命题的实数a的取值范围．
17. (本小题满分12分)
设圆与两圆 ，中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点，，且P为L上动点，求|||－|||的最大值及此时点的坐标．
18.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
19. (本小题满分12分)
如图，四边形是正方形，△ 与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
20.（本小题满分13分）
如图，在直角梯形中，，，，，为上一点，且，，现沿折叠使平面平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）能否在边上找到一点使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在请说明理由．
21.（本小题满分14分）
椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线过点且与开口向上，顶点在原点的抛物线切于其次象限的一点，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，若，,且，求抛物线的标准方程．
x
y
A
N
M
B
O
D
高二数学试题答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D
11.﹣16≤a≤0 12.600 13. 14.﹣1 15.6
16.解答： 解：命题p：由于a＞0时，对∀x＞0，x+，则：
2，a≥1；
命题q：由得：（k2+a2）x2+4kx+4﹣a2=0 则：
△=4a2（a2+k2﹣4）≥0，即a2≥﹣k2+4；
而﹣k2+4在R上的最大值为4；
∴a2≥4，∵a＞0，∴解得a≥2；
p∨q为真命题，p∧q为假命题时，p，q一真一假；
∴（1）若p真q假，则：；
∴1≤a＜2；
（2）若p假q真，则：；
∴a∈∅；
综上可得，a的取值范围是，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
17.(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，
18.解答： 解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，
依题意可得：，
解得：a2=3，b=1，
∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则
而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③
将②代入③整理得k=，
阅历证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．
19.（1）证明：∵是的中点，且，
∴ .
∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ，.
∵ ，平面，平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ .
∵ 四边形是正方形，
∴ .
∵ ，平面，
平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ .
∵ ，平面，平面，
∴ 平面.
∵ 平面，
∴ . ………6′
（2） 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ，
建立空间直角坐标系，设，
则，，,.
∴，.
设平面的法向量为，
由 得
令 ，得，
∴ 为平面的一个法向量.
∵ 平面，平面，
∴ 平面平面.
连接，则.
∵ 平面平面，平面，
∴ 平面.
∴ 平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
则.
∴.
∴ 二面角的平面角的正弦值为. …………12′
20（1）证明：在直角梯形中易求得……2分
∴ ，故,且折叠后与位置关系不变……4分
又 ∵ 面面,且面面
∴面………………6分
x
y
z
（2）解：∵ 在中，，为的中点
∴ 又∵ 面面,且面面
∴ 面, 故可以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则
易求得面的法向量为……8分
假设在上存在一点使平面与平面
所成角的余弦值为，且
∵ 故
又
∴
又 设面的法向量为
∴
令得……………………10分
∴
解得 …………………………12分
因此存在点且为线段上靠近点的三等分点时使得平面与平面 所成角的余弦值为. …………………………13分
21.（1）由题意知，，
即………………1分
又，………………2分
故椭圆的方程为 ………………4分
（2）设抛物线的方程为，直线与抛物线的切点为
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程，由相切得， 则直线的斜率为
则可得直线的方程为 ………………6分
直线过点 即
在其次象限
直线的方程为………………8分
代入椭圆方程整理得
设 则………10分
由，,
得
抛物线的标准方程为………………13分
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