2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第2章-第6讲-幂函数与二次函数.docx

第6讲 幂函数与二次函数
一、选择题
1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．4
C. D.
解析 设f(x)＝xα，由于图像过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝.
答案 C
2．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.
解析 设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.
∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.
答案 D
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 (　　)．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析　f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－<b<2＋.
答案　B
4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 (　　)．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析　f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔或解得a＝
－3.
答案　A
5 .函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推想，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不行能是(　　)．
A．{1,2} B．{1,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}
解析　设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.
而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.
答案　D
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是 (　　)．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析　由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5.
答案　C
二、填空题
7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．
答案 ①②⑤⑥
8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
解析　由已知得⇒
答案　a>0，ac＝4
9．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．
解析　∵∴m＝β＋.
∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，
∴1＋1＜m＜2＋，即m∈.
答案　
10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，
则m的取值范围是________．
解析　当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m>0时，依据函数f(x)和函数g(x)的单调性，确定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不符合第①条的要求；当m<0时，如图所示，假如符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，假如符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足或解第一个不等式组得－4<m<－2，其次个不等式组无解，故所求m的取值范围是(－4，－2)．
答案　(－4，－2)
三、解答题
11．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．
解　设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点在函数图象上，求得n＝3.
令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4, 6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)[理]当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6 或a≥4.
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
13．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围．
解　不等式ax2－2x＋2>0等价于a>，
设g(x)＝，x∈(1,4)，则
g′(x)＝
＝＝，
当1<x<2时，g′(x)>0，当2<x<4时，g′(x)<0，
g(x)≤g(2)＝，
由已知条件a>，
因此实数a的取值范围是.
14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)<f(3)．
(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试推断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
解　(1)∵f(2)<f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．
故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.
(2)假设存在q>0满足题设，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．