2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第2篇-第12讲-导数的综合应用.docx

第12讲导数的综合应用最新考纲1利用导数争辩函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2会利用导数解决某些简洁的实际问题.知 识 梳 理1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3导数在争辩方程(不等式)中的应用争辩函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行争辩辨 析 感 悟1函数最值与不等式(方程)的关系(1)(教材习题改编)对任意x0，ax2(3a1)xa0恒成立的充要条件是a.()(2)(2011辽宁卷改编)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是(，2ln 22()2关于实际应用问题(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(5)(2022贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为9万件()感悟提升1两个转化一是利用导数争辩含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题留意分类争辩与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)2两点留意一是留意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)二是在实际问题中，假如函数在区间内只有一个极值点，那么可直接依据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)若在开区间内有极值，则肯定有最优解.考点一导数在方程(函数零点)中的应用【例1】 (2021北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围审题路线(1)由导数的几何意义，知f(a)0且f(a)b，解方程得a，b的值(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2xsin xcos xb0.通过判定零点个数来求解解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)由于曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得x0.当x变化时，g(x)，g(x)的变化状况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x) 1b 所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)1b.当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根，曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0.yg(x)在(0,2b)内存在零点，又yg(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，)上单调递增，yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点故当b1时，yg(x)在R上有两个零点，则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点综上可知，假如曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)规律方法 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)b有两个实根时实数b应满足的条件，并留意g(x)的单调性、奇偶性、最值的机敏应用另外还可作出函数yf(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应留意严谨性，进行必要的论证(2)该类问题的求解，一般利用导数争辩函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，依据零点或图象的交点状况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.同学用书第43页【训练1】 (2022天津卷节选)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或a(a0)当x变化时f(x)与f(x)的变化状况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值微小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增；在区间(1,0)内单调递减从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a.所以，a的取值范围是.考点二导数在不等式中的应用【例2】 (2021新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并争辩f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.审题路线(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min0.解(1)易知f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex在(1，)上是增函数，且f(0)0.当x(1,0)时，f(x)0时，f(x)0.故f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)当m2，xm时，ln(xm)ln(x2)故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)10.所以f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且1x00.综上可知，当m2时，f(x)0成立规律方法 (1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当m2时，f(x)0；二是依据f(x0)0，精确求f(x)exln(x2)的最小值(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点动身，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化【训练2】 (2022郑州一模)已知函数f(x)a(x21)ln x.(1)争辩函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)a2成立，求实数m的取值范围解(1)由已知，得f(x)2ax(x0)当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在上是增函数；若x ，则f(x)0，故f(x)在上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等价于maa2f(x)max.由于a(4，2)，所以 2a，即ma2.由于a(4，2)，所以2a20，即m2.所以实数m的取值范围是(，2考点三导数与生活中的优化问题【例3】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经猜测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xmm2m256.(2)由(1)知，令f(x)0，得512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使工程的费用y最小规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，留意结果应与实际状况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，假如函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.同学用书第44页【训练3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建筑成本仅与表面积有关，侧面的建筑成本为100元/平方米，底面的建筑成本为160元/平方米，该蓄水池的总建筑成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)争辩函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)由于蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又依据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由于r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，g(x)1e2.规范解答(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(3分)(2)由(1)知，f(x)，x(0，)设h(x)ln x1，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数，(5分)由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0，当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)(8分)(3)由(2)可知，当x1时，g(x)xf(x)01e2，故只需证明g(x)1e2在0x1时成立(9分)当0x1，且g(x)0，g(x)0，当x(e2,1)时，F(x)0，所以当xe2时，F(x)取得最大值F(e2)1e2.所以g(x)0，g(x)1e2.(13分)反思感悟 一是不能抓住f(x)的特征，联系导数的几何意义，求f(x)0的实根x1，导致思维受阻；二是第(3)问中，未将x的范围细化为0x1”这一条件，将g(x)变为：g(x)1xln xx.答题模板第一步：利用导数的几何意义求k的值；其次步：求g(x)，构造函数F(x)；第三步：将问题转化为证明F(x)1e2；第四步：对F(x)求导，推断其单调性，求最大值；第五步：将问题再转化为原问题从而得到欲证明的不等式【自主体验】(2021辽宁卷)已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(1)证明要证x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)当x(0,1)时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0.所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)解f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx.设G(x)2cos x，则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x，则H(x)12cos x.当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0,1上是减函数于是G(x)G(0)2，从而a1G(x)a3.所以，当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx，记I(x)a2cos xaG(x)，则I(x)G(x)，当x(0,1)时，I(x)0，故I(x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域为a12cos 1，a3由于当a3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3.对应同学用书P251基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是()A(2,2) B2,2C(，2)(2，) D(，22，)解析y3(1x)(1x)，由y0，得x1.y极大2，y微小2，2m2.答案A2若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20，可知应选B.答案B3从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm3解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160 x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144 (cm3)答案C4(2021浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到微小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到微小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是函数f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，明显f(1)0，且x在1的左边四周f(x)0，f(x)在x1处取得微小值答案C5.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，由xf(x)0，得x0，x1.(2)当x(1,1)时，f(x)是减函数，f(x)0.由xf(x)0，0x1.故xf(x)0的解集为(，1)(0,1)答案A二、填空题6已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.答案1，)7若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_解析函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，f(x)f(2)f(3)f(3)答案f(3)f(2)0.由(x)0，得x3.当0x3时，(x)3时，(x)0.(x)在(0，)上有微小值(3)16ln 30.故y(x)的图象与x轴有两个交点，则方程f(x)g(x)0有两个实根答案2三、解答题9某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y1时，推断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为微小值也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR ，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m,2m)上有一个零点故f(x)在0,2m上有两个零点力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2021潍坊模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，不等式f(x)xf(x)bc BcbaCcab Dacb解析设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)0(x0)，当x0时，g(x)为增函数130.32,0log3g(30.3)g(log3)，即cab.答案C2已知函数f(x)(其中e为自然对数的底数，且e2.718)若f(6a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(2,3) B(2，e) C(3,2) D(2，e)解析当xe时，f(x)2(3x)0；当xe时，f(x)10，f(x)在R上单调递增因此6a2a，解之得3a2.答案C二、填空题3将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是_解析如图所示，设ADx m(0x1)，则DEADx m，梯形的周长为x2(1x)13x (m)，又SADEx2(m2)，梯形的面积为x2(m2)，S(0x1)，S，令S0，得x或3(舍去)，当x时，S0，S递减；当x时，S0，S递增故当x时，S的最小值是.答案三、解答题4(2022湛江质检)已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.解(1)令h(x)sin xax(x0)，则h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin xax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sin xax(x0)成立若0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意若a0，结合f(x)与g(x)的图象可知明显不合题意综上可知，a的取值范围是1，)(2)当a取(1)中的最小值为1时，g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0)，则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2，则G(x)sin xx0(x0)，所以G(x)1cos xx2在0，)上单调递减，此时G(x)1cos xx2G(0)0，即H(x)1cos xx20，所以H(x)xsin xx3在x0，)上单调递减所以H(x)xsin xx3H(0)0，则xsin xx3(x0)所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.同学用书第45页