2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第1篇-第1讲-集合及其运算.docx

第1讲　集合及其运算
[最新考纲]
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集．
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

知 识 梳 理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
2．集合间的基本关系
表示
关系　　
文字语言
符号语言
集合间的
基本关系
相等
集合A与集合B中的全部元素都相同
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言

符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

辨 析 感 悟
1．元素与集合的辨别
(1)若{ 1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√)
(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×)
2．对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．(√)
(5)(2021·浙江卷改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝{x|－4≤x≤1}．(×)
(6)(2021·陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM＝{x|x＞1，或x＜－1}．(√)
[感悟·提升]
1．一点提示　求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．
2．两个防范　一是忽视元素的互异性，如(1)；
二是运算不精确     ，尤其是运用数轴图示法时要特殊留意端点是实心还是空心，如(6)．
3．集合的运算性质：①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∪(∁UA)＝U；④A∩(∁UA)＝∅.

考点一　集合的基本概念
【【例1】】

【例1】(1)(2021·江西卷)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)．
A．4 B．2 C．0 D．0或4
(2)(2021·山东卷)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)．
A．1 B．3 C．5 D．9
解析　(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；
当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．
(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}．
答案　(1)A　(2)C
规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特殊是含有字母的集合，在求出字母的值后，要留意检验集合中的元素是否满足互异性．
【训练1】已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝________.
解析　由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又依据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1.
答案　1
考点二　集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．
审题路线　(1)分B＝∅和B≠∅两种状况求解，当B≠∅时，应留意端点的取值．(2)先求A，再利用(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A，应对B分三种状况争辩．
解　(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则解得2<m≤4.
综上，m的取值范围是(－∞，4]．
(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类争辩，做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避开出错的一个有效手段是合理运用数轴挂念分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行争辩．
【训练2】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2022·郑州模拟)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的全部可能取值的集合为(　　)．
A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}
解析　(1)由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(2)a＝0时，B＝{x|1≠0}＝∅⊆A；a≠0时，B＝⊆A，则－＝－1或－＝1，故a＝0或a＝1或－1.
答案　(1)D　(2)D
考点三　集合的基本运算
【例3】(1)(2021·湖北卷)已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝(　　)．
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2，或x＞4} D．{x|0＜x≤2，或x≥4}
(2)(2022·唐山模拟)若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，则下列各式正确的是(　　)．
A．M∪S＝M B．M∪S＝S
C．M＝S D．M∩S＝∅
解析　(1)A＝＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x＜2，或x＞4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x＜2，或x＞4}．
(2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故选A.
答案　(1)C　(2)A
规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要留意端点的状况．
【训练3】(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(　　)．
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(∁UB)＝________.
解析　(1)∁UA＝{0,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．
(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故∁UB＝{x|x≤2，或x≥4}，从而A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤2}．
答案　(1)C　(2){x|－1≤x≤2}

数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
同学用书第3页

创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)．
A．3 B．6 C．8 D．10
解析　法一(列表法)　由于x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：
x
x－y
y
1
2
3
4
5
1
0
－1
－2
－3
－4
2
1
0
－1
－2
－3
3
2
1
0
－1
－2
4
3
2
1
0
－1
5
4
3
2
1
0

由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.
法二(直接法)　由于A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.
当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；
当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；
当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；
当y＝4时，x只能取5，共有1个数；
当y＝5时，x不能取任何值．
综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为
4＋3＋2＋1＝10.
答案　D
[反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是精确     理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生制造性解决问题的力量．
【自主体验】
1．(2021·广东卷)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是(　　)．
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
解析　题目中x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．
答案　B
2．(2021·浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，假如k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)．
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
解析　依题意，可知由S的3个元素构成的全部集合中，不含“好元素”，则这3个元素肯定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．
答案　A
对应同学用书P219
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2021·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)．
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析　集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2，或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R.
答案　B
2．(2021·广东卷)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝(　　)．
A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
解析　S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．
答案　A
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)．
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
解析　P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．
答案　B
4．(2021·辽宁卷)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)．
A．(0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
解析　0＜log4x＜1，即log41＜log4x＜log44，∴1＜x＜4，∴集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
答案　D
5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)．

A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
解析　阴影部分是A∩∁RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩∁RB＝{x|1≤x＜2}．
答案　D
二、填空题
6．(2021·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．
解析　所给集合的子集个数为23＝8个．
答案　8
7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析　依据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
答案　4
8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
解析　由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.
答案　－3
三、解答题
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.
解　由A∩B＝{－3}知，－3∈B.
又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．
10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B⊆A，求a的值；
(2)若A⊆B，求a的值．
解　(1)A＝{0，－4}，
①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1；
②当B为单元素集时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；
③当B＝A时，由根与系数的关系得：
解得a＝1.
综上可知：a≤－1或a＝1.
(2)若A⊆B，必有A＝B，由(1)知a＝1.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　)．
A．5 B．4 C．3 D．2
解析　当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；
当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．
答案　C
2．(2021·江西七校联考)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg(x2－1)}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩(∁UM)＝(　　)．
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|－1≤x≤1} D．{x|x＜1}
解析　M＝{x|y＝lg(x2－1)}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1，或x＜－1}，所以∁UM＝{x|－1≤x≤1}，结合数轴易得N∩(∁UM)＝{x|0＜x≤1}．
答案　B
二、填空题
3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
解析　A＝{x|－5<x<1}，由于A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.
答案　－1　1
三、解答题
4．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]＜0}．分别依据下列条件，求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.
解　由于集合A是函数y＝2x－1(0＜x≤1)的值域，所以A＝(－1,1]，B＝(a，a＋3)．
(1)A∩B＝A⇔A⊆B⇔
即－2＜a≤－1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是(－2，－1]．
(2)当A∩B＝∅时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4.
故当A∩B≠∅时，a的取值范围是(－4,1).
同学用书第3页