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第5讲 复 数
[最新考纲]
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
知 识 梳 理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面对量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
辨 析 感 悟
1．对复数概念的理解
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)
(2)2i比i大．(×)
(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)
2．对复数几何意义的生疏
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)
(6)(2021·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×)
3．对复数四则运算的理解
(7)(教材习题改编)＝－i.(√)
(8)(2021·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)
[感悟·提升]
1．两点提示 一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对消灭，如(1)；
二是两个虚数不能比较大小，如(2)．
2．两条性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
同学用书第213页
考点一 复数的概念
【例1】 (1)(2021·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )．
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
(2)(2021·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为( )．
A．－4 B．－ C．4 D.
解析 (1)由(z－3)(2－i)＝5，
得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，
∴＝5－i.故选D.
(2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5.
∴z＝＝，∴z的虚部为.
答案 (1)D (2)D
规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义动身，把复数问题转化成实数问题来处理．
【训练1】 (1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为( )．
A．0 B．－1 C．1 D．－2
解析 (1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋＝a－bi不肯定为纯虚数，但假如a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.
(2)∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.
答案 (1)B (2)A
考点二 复数的几何意义
【例2】 (1)(2021·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )．
A．25 B. C．5 D.
解析 (1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面其次象限．
(2)∵z＝＝＝＝＝－4－3i，
∴|z|＝ ＝5.
答案 (1)B (2)C
规律方法 要把握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而精确 理解复数的“数”与“形”的特征．
【训练2】 (1)(2021·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )．
A．A B．B C．C D．D
(2)(2021·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析 (1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.
(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．
∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.
答案 (1)B (2)－2＋3i
同学用书第214页
考点三 复数代数形式的四则运算
【例3】 (1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
(2)＝________.
(3)已知复数z满足＝2－i，则z＝________.
解析 (1)法一 |z|＝＝，
z·＝|z|2＝.
法二 z＝＝－＋，
z·＝＝.
(2)＝
＝＝i(1＋i)4＝i[(1＋i)2]2
＝i(2i)2＝－4i.
(3)由＝2－i，得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i.
答案 (1) (2)－4i (3)－－i
规律方法 在做复数的除法时，要留意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
【训练3】 (1)(2022·临沂模拟)设z＝1＋i，则＋z2等于( )．
A．1＋i B．－1＋i C．－i D．－1－i
(2)(2021·安徽卷)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )．
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析 (1)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i
＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
故2＝2a，a2＋b2＝2b
解得a＝1，b＝1
即z＝1＋i.
答案 (1)A (2)A
1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应留意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
3．要记住一些常用的结果，如i，－＋i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．
思想方法12——解决复数问题的实数化思想
【典例】 (2021·天津卷)已知a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析 (a＋i)·(1＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i＝bi
则解得a＝1，b＝2.所以a＋bi＝1＋2i.
答案 1＋2i
[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．
(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
【自主体验】
1．(2022·滨州模拟)已知＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝( )．
A．1 B．2 C．－1 D．－3
解析 a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.
答案 A
2．(2022·湖北卷)若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析 由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，
依据复数相等得解得∴a＋b＝3.
答案 3
对应同学用书P387
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.
答案 D
2．(2021·广东卷)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )．
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
解析 由已知条件得z＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.
答案 C
3．(2022·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为( )．
A．－2 B．2 C．－2i D．2i
解析 z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.
答案 B
4．(2021·新课标全国Ⅱ卷)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．
A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i
解析 由题意得z＝＝＝－1＋i，故选A.
答案 A
5．(2021·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )．
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析 A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立．
B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．
D不肯定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，
则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
答案 D
二、填空题
6．(2021·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析 ∵z＝(2－i)2＝3－4i，
∴|z|＝＝5.
答案 5
7．(2022·郑州模拟)4＝________.
解析 4＝2＝1.
答案 1
8．(2021·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.
解析 由题意知解得m＝－2.
答案 －2
三、解答题
9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解 (z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的其次象限．
解 (1)若z为实数，则解得m＝－2.
(2)若z为虚数，则
解得m≠－2且m≠－3.
(3)若z为纯虚数，则解得m＝3.
(4)若z对应的点在其次象限，则
即∴m＜－3或－2＜m＜3.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·陕西师大附中模拟)2 014＝( )．
A．－i B．i C．－1 D．1
解析 2 014＝2 014＝2 014＝
(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1.
答案 C
2．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是( )．
A．－3＋2i B．3＋2i
C．－2＋3i D．2＋3i
解析 法一 x＝＝－3±2i.
法二 令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0，
∴
解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i.
答案 A
二、填空题
3．(2022·北京西城模拟)定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.
解析 由于x＝＝＝－i.
所以y＝＝＝－2.
答案 －2
三、解答题
4.
如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
解 (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
基础回扣练——推理证明、算法、复数 (对应同学用书P389)
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．(2021·湖北卷)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝1＋i，＝1－i，对应点(1，－1)在第四象限．
答案 D
2．(2021·辽宁卷)复数z＝的模为( )．
A. B. C. D．2
解析 z＝＝＝－－i，
∴|z|＝＝.
答案 B
3．(2021·江西卷)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )．
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
解析 由M∩N＝{4}知4∈M，所以zi＝4，z＝－4i，选C.
答案 C
4．(2022·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )．
A．－ B.i
C．±i D．±
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1，
∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±.
答案 D
5．(2022·青岛一模)某程序框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为( )．
A．15 B．31 C．62 D．63
解析 第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；
其次次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；
第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.
此时不满足条件，输出x＝31.
答案 B
6．(2022·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
解析 第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；其次次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.
答案 C
7．(2021·江西卷)阅读如下程序框图，假如输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．
A．S＝2]B.S＝2]D.S＝2]解析 i＝2，S＝5；i＝3，S＜10，排解D；i＝4，S＝9；i＝5，S＜10，排解A和B，故选C.
答案 C
8.(2022·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，假如输出的结果为5,57，则推断框内应为( )．
A．k≤6? B．k＞4?
C．k＞5? D．k≤5?
解析 当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B.
答案 B
9．(2022·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )．
A．第一列 B．其次列
C．第三列 D．第四列
解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．
答案 D
10．(2021·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另始终角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这肯定理推广到立体几何中：在四周体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )．
A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋
解析 如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何学问知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.
答案 A
二、填空题
11．(2021·重庆卷)已知复数z＝，则|z|＝________.
解析 z＝＝＝2＋i，∴|z|＝.
答案
12．(2022·茂名一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝________.
解析 ＝＝＋i，
由题意知：＝0，∴a＝2.
答案 2
13．(2022·湖南十二校二联)为调查长沙市中同学平均每人每天参与体育熬炼时间(单位：分钟)，按熬炼时间分下列四种状况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10 000名中同学参与了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参与体育熬炼时间在0～20分钟内的同学的频率是________．
解析 由已知得，输出的数据为体育熬炼时间超过20分钟的同学数6 200，故熬炼时间不超过20分钟的同学数为10 000－6 200＝3 800，由古典概型的概率计算公式可得，P＝＝0.38.故所求频率是0.38.
答案 0.38
14．(2022·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为________．
解析 第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1；
其次次：n＝＝8，k＝2；
第三次：n＝＝4，k＝3；
第四次：n＝＝2，k＝4；
第五次：n＝＝1，k＝5，
此时满足条件，输出k＝5.
答案 5
15．(2021·宝鸡二检)已知2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，若9＋＝92×(a，b为正整数)，则a＋b＝________.
解析 观看分数的分子规律得b＝9，则a＝b2－1＝80，故a＋b＝89.
答案 89
16．(2022·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四周体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以＝.
答案
三、解答题
17．在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立．
(1)求a2的取值范围；
(2)推断数列{an}能否为等比数列，并说明理由．
解 (1)由于{an}是单调递增数列，所以a2＞a1，即a2＞2.
又(n＋1)an≥na2n，令n＝1，则有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]．
(2)数列{an}不能为等比数列．
用反证法证明：
假设数列{an}是公比为q的等比数列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1.
由于数列{an}单调递增，所以q＞1.
由于(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立，
所以对任意n∈N*，都有1＋≥qn.①
由于q＞1，所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞2.
由于1＋≤2(n∈N*)．
所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋，与①冲突，故假设不成立．
18．(2021·常德模拟)设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k时猜想正确，
即ak＝，
则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.
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