2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第12篇-第5讲-复数.docx

第5讲复数最新考纲1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知 识 梳 理1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面对量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)辨 析 感 悟1对复数概念的理解(1)方程x2x10没有解()(2)2i比i大()(3)(教材习题改编)复数1i的实部是1，虚部是i.()2对复数几何意义的生疏(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()(6)(2021福建卷改编)已知复数z的共复轭复数12i，则z在复平面内对应的点位于第三象限()3对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)i.()(8)(2021浙江卷改编)(1i)(2i)13i.()感悟提升1两点提示一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对消灭，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)2两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN)(2)(1i)22i，i，i.同学用书第213页考点一复数的概念【例1】 (1)(2021山东卷)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i(2)(2021新课标全国卷)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.解析(1)由(z3)(2i)5，得z3335i，5i.故选D.(2)(34i)z|43i|5.z，z的虚部为.答案(1)D(2)D规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义动身，把复数问题转化成实数问题来处理【训练1】 (1)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0 B1 C1 D2解析(1)ab0a0或b0，这时aabi不肯定为纯虚数，但假如aabi为纯虚数，则有a0且b0，这时有ab0，由此知选B.(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虚部为0.答案(1)B(2)A考点二复数的几何意义【例2】 (1)(2021湖南卷)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限(2)复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25 B. C5 D.解析(1)zii21i，对应的点为(1,1)，位于复平面其次象限(2)z43i，|z| 5.答案(1)B(2)C规律方法 要把握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而精确理解复数的“数”与“形”的特征【训练2】 (1)(2021四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BB CC DD(2)(2021湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.解析(1)设zabi(a，bR)，则z的共轭复数abi，它的对应点为(a，b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数zabi与点(a，b)一一对应点(a，b)关于原点对称的点为(a，b)，则复数z223i.答案(1)B(2)23i同学用书第214页考点三复数代数形式的四则运算【例3】 (1)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(2)_.(3)已知复数z满足2i，则z_.解析(1)法一|z|，z|z|2.法二z，z.(2)i(1i)4i(1i)22i(2i)24i.(3)由2i，得ziiiii.答案(1)(2)4i(3)i规律方法 在做复数的除法时，要留意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1z2|z1|2|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化【训练3】 (1)(2022临沂模拟)设z1i，则z2等于()A1i B1i Ci D1i(2)(2021安徽卷)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi22z，则z()A1i B1iC1i D1i解析(1)z2(1i)22i2i1i2i1i.(2)设zabi(a，bR)，则zi2(abi)(abi)i22(a2b2)i2a2bi，故22a，a2b22b解得a1，b1即z1i.答案(1)A(2)A 1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应留意的问题，平移往往和加法、减法相结合3要记住一些常用的结果，如i，i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度 思想方法12解决复数问题的实数化思想【典例】 (2021天津卷)已知a，bR，i为虚数单位，若(ai)(1i)bi，则abi_.解析(ai)(1i)(a1)(a1)ibi则解得a1，b2.所以abi12i.答案12i反思感悟 (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法【自主体验】1(2022滨州模拟)已知bi(a，bR)，则ab()A1 B2 C1 D3解析a2ibii21bi，a1，b2，ab1.答案A2(2022湖北卷)若abi(a，bR)，则ab_.解析由已知得3bi(1i)(abi)abiaibi2(ab)(ba)i，依据复数相等得解得ab3.答案3对应同学用书P387基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2021北京卷)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限解析 (2i)244ii234i，对应的点为(3，4)，位于第四象限，故选D.答案D2(2021广东卷)若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2,4) B(2，4)C(4，2) D(4,2)解析由已知条件得z42i，所以z对应的点的坐标为(4，2)，故选C.答案C3(2022武汉模拟)设复数z(34i)(12i)，则复数z的虚部为()A2 B2 C2i D2i解析z(34i)(12i)112i，所以复数z的虚部为2.答案B4(2021新课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则z()A1i B1i C1i D1i解析由题意得z1i，故选A.答案A5(2021陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12 B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22 D若|z1|z2|，则zz解析A中，|z1z2|0，则z1z2，故12，成立B中，z12，则1z2成立C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，C正确D不肯定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.答案D二、填空题6(2021江苏卷)设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_解析z(2i)234i，|z|5.答案57(2022郑州模拟)4_.解析421.答案18(2021上海卷)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，则m_.解析由题意知解得m2.答案2三、解答题9已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i(aR)，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R.a4.z242i.10当实数m为何值时，z(m25m6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的其次象限解(1)若z为实数，则解得m2.(2)若z为虚数，则解得m2且m3.(3)若z为纯虚数，则解得m3.(4)若z对应的点在其次象限，则即m3或2m3.力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2022陕西师大附中模拟)2 014()Ai Bi C1 D1解析2 0142 0142 014(i)2 104i2 014i450321.答案C2方程x26x130的一个根是()A32i B32iC23i D23i解析法一x32i.法二令xabi，a，bR，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得a3，b2，即x32i.答案A二、填空题3(2022北京西城模拟)定义运算adbc.若复数x，y，则y_.解析由于xi.所以y2.答案2三、解答题4.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.基础回扣练推理证明、算法、复数(对应同学用书P389)(建议用时：60分钟)一、选择题1(2021湖北卷)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限解析z1i，1i，对应点(1，1)在第四象限答案D2(2021辽宁卷)复数z的模为()A. B. C. D2解析zi，|z|.答案B3(2021江西卷)已知集合M1,2，zi，i为虚数单位，N3,4，MN4，则复数z()A2i B2iC4i D4i解析由MN4知4M，所以zi4，z4i，选C.答案C4(2022佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|2，则复数z的虚部是()A B.i Ci D解析设zabi(a，bR)，由题意知a1，1b24，b23，b.答案D5(2022青岛一模)某程序框图如图所示，若a3，则该程序运行后，输出的x值为()A15 B31 C62 D63解析第一次循环：x2317，n2；其次次循环：x27115，n3；第三次循环：x215131，n4.此时不满足条件，输出x31.答案B6(2022郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()A6 B5 C4 D3解析第一次循环，n1，S123；其次次循环，n2，S2328；第三次循环，n3，S38226；第四次循环，n4，S4262106，此时满足条件，输出n4.答案C7(2021江西卷)阅读如下程序框图，假如输出i5，那么在空白矩形框中应填入的语句为()AS2B.S2D.S2解析i2，S5；i3，S10，排解D；i4，S9；i5，S10，排解A和B，故选C.答案C8.(2022咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，假如输出的结果为5,57，则推断框内应为()Ak6? Bk4?Ck5? Dk5?解析当k1时，S2011；当k2时，S2124；当k3时，S24311；当k4时，S211426；当k5时，S226557，由题意知此时退出循环，因而选B.答案B9(2022福州质检)将正奇数1,3,5,7，排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()A第一列 B其次列C第三列 D第四列解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而454111，故89位于第四列答案D10(2021长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另始终角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这肯定理推广到立体几何中：在四周体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSS BS2CSS1S2S3 DS解析如图，作ODBC于点D，连接AD，由立体几何学问知，ADBC，从而S22BC2AD2BC2(OA2OD2)(OB2OC2)OA2BC2OD2222SSS.答案A二、填空题11(2021重庆卷)已知复数z，则|z|_.解析z2i，|z|.答案12(2022茂名一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a_.解析i，由题意知：0，a2.答案213(2022湖南十二校二联)为调查长沙市中同学平均每人每天参与体育熬炼时间(单位：分钟)，按熬炼时间分下列四种状况统计：010分钟；1120分钟；2130分钟；30分钟以上有10 000名中同学参与了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参与体育熬炼时间在020分钟内的同学的频率是_解析由已知得，输出的数据为体育熬炼时间超过20分钟的同学数6 200，故熬炼时间不超过20分钟的同学数为10 0006 2003 800，由古典概型的概率计算公式可得，P0.38.故所求频率是0.38.答案0.3814(2022泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为_解析第一次：n35116，k1；其次次：n8，k2；第三次：n4，k3；第四次：n2，k4；第五次：n1，k5，此时满足条件，输出k5.答案515(2021宝鸡二检)已知222，332，442，若992(a，b为正整数)，则ab_.解析观看分数的分子规律得b9，则ab2180，故ab89.答案8916(2022兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四周体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以.答案三、解答题17在单调递增数列an中，a12，不等式(n1)anna2n对任意nN*都成立(1)求a2的取值范围；(2)推断数列an能否为等比数列，并说明理由解(1)由于an是单调递增数列，所以a2a1，即a22.又(n1)anna2n，令n1，则有2a1a2，即a24，所以a2(2,4(2)数列an不能为等比数列用反证法证明：假设数列an是公比为q的等比数列，由a120，得an2qn1.由于数列an单调递增，所以q1.由于(n1)anna2n对任意nN*都成立，所以对任意nN*，都有1qn.由于q1，所以存在n0N*，使得当nn0时，qn2.由于12(nN*)所以存在n0N*，使得当nn0时，qn1，与冲突，故假设不成立18(2021常德模拟)设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN*，都有an.