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第2讲 排列与组合
[最新考纲]
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能解决简洁的实际问题.
知 识 梳 理
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
依据肯定的挨次排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特殊地C＝1.
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C.
辨 析 感 悟
1．排列与组合的基本概念、性质
(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(×)
2．排列与组合的应用
(4)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有A－AA＝72种．(√)
(5)(教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A＝168(个)．(×)
(6)(2021·北京卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，假如分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是4A＝96种．(√)
[感悟·提升]
1．一个区分 排列与组合最根本的区分在于“有序”和“无序”．取出元素后交换挨次，假如与挨次有关是排列，假如与挨次无关即是组合，如(1)忽视了元素的挨次．
2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
同学用书第174页
考点一 排列应用题
【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必需排在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
解 (1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必需排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A种排法．
由分步乘法计数原理，有AA＝720种不同排法．
(2)先将男生排好，共有A种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A种方法．
故符合条件的排法共有AA＝1 440种不同排法．
(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；最终把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有A种排法．
总共有AAA＝960种不同排法．
规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般接受特殊元素优先原则，即先支配有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以接受间接法．
(2)对相邻问题接受捆绑法、不相邻问题接受插空法、定序问题接受倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
【训练1】 (1)(2022·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
(2)(2021·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．
A．9 B．10 C．18 D．20
解析 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
(2)由于lg a－lg b＝lg(a>0，b>0)，
∴lg有多少个不同的值，只需看不同值的个数．
从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝18.
答案 (1)C (2)C
考点二 组合应用题
【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解 (1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种)．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C·C＋C·C＝825(种)或接受排解法：C－C＝825(种)．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：
C·C＋C·C＋C＝966(种)．
(5)分两类：第一类女队长当选：C；其次类女队长不当选：
C·C＋C·C＋C·C＋C.
故选法共有：
C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)．
规律方法 组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类简单时，逆向思维，间接求解．
【训练2】 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
解析 满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C＝5(种)；二是两个奇数和两个偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C·C＝60(种)；三是取4个偶数的取法有1种．
所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．
答案 D
同学用书第175页
考点三 排列、组合的综合应用
【例3】 (1)(2021·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
(2)某校高二班级共有6个班级，现从外地转入4名同学，要支配到该班级的两个班级且每班支配2名，则不同的支配方案种数为( )．
A．AC B.AC C．AA D．2A
审题路线 (1)选出3个位置排特殊元素A、B、C，并把元素A、B作为元素集团进行排列；(2)可将4名同学分成两组(每组2人)，再安排到两个班级．
解析 (1)先将A，B视为元素集团，与C先排在6个位置的三个位置上，有CAC种排法；
其次步，排其余的3个元素有A种方法．
∴由分步乘法计数原理，共有CAC·A＝480种排法．
(2)法一 将4人平均分成两组有C种方法，将此两组安排到6个班级中的2个班有A种．
所以不同的支配方法有CA种．
法二 先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后支配同学有CC种，故有CC＝AC种．
答案 (1)480 (2)B
规律方法 (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的安排问题，往往是先分组再安排．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，留意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
【训练3】 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．
A．24 B．18 C．12 D．6
解析 依据所选偶数为0和2分类争辩求解．
①当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位．∴排成的三位数的奇数有CA＝6个．
②当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．
∴排成的三位数的奇数有CAA＝12个．
∴由分类加法计数原理，共有18个三位数的奇数．
答案 B
1．娴熟把握：(1)排列数公式A＝；(2)组合数公式C＝，这是正确计算的关键．
2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排解法)．分类时标准应统一，避开消灭重复或遗漏．解组合应用题时，应留意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再安排的处理原则．对于安排问题，解题的关键是要搞清楚大事是否与挨次有关，对于平均分组问题更要留意挨次，避开计数的重复或遗漏．
、易错辨析9——实际意义理解不清导致计数错误
【典例】 (2022·山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为
( )．
A．232 B．256 C．472 D．484
[错解] 第一类，含有一张红色卡片，取出红色卡片有C种方法，再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一张卡片有CCC种方法．
因此满足条件的取法有C·CCC＝192种．
其次类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一张有CCC＝64种取法．
∴由分类加法计数原理，不同的取法共有192＋64＝256种．
[答案] B
[错因] 错解的缘由是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同”．
[正解] 第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC＝264(种)．
其次类，不含有红色卡片，不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472(种)．
[答案] C
[防范措施] (1)精确 理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求．
(2)选择恰当分类标准，避开重复遗漏，消灭“至少、至多”型问题，留意间接法的运用．
【自主体验】
1．(2021·大纲全国卷改编)有5人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答)．
解析 先把除甲、乙外的3人全排列，有A种，再把甲、乙两人插入这3人形成的四个空位中的两个，共A种不同的方法．
∴全部不同的排法共有A·A＝72(种)．
答案 72
2．假如把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
解析 第一类：恰有三个相同的数字为1，
选2,3,4中的一个数字排在十、百、千位的一个位置上，有C·A种方法，四位“好数”有9个．
其次类：相同的三个数字为2,3,4中的一个，这样的四位“好数”为2221,3331,4441共3个．
由分类加法计数原理，共有“好数”9＋3＝12个．
答案 12
对应同学用书P359
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为( )．
A．C·C B．C－C
C．2C·C＋C D．C－C＋1
解析 从8个点中任选3个点有选法C种，由于有4点共圆所以减去C种再加1种，即有圆C－C＋1个．
答案 D
2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )．
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
解析 分类争辩：若十位数为6时，有A＝20个；若十位数为5时，有A＝12个；若十位数为4时，有A＝6个；若十位数为3时，有A＝2个，因此一共有40个．
答案 C
3．将甲、乙、丙、丁四名同学分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名同学不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )．
A．18 B．24 C．30 D．36
解析 四名同学中有两名同学恰好分在一个班，共有CA种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A种，所以不同的分法种数是CA－A＝30.
答案 C
4．某外商方案在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )．
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
解析 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60(种)方法．
答案 D
5．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必需站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为( )．
A．8 B．12 C．16 D．24
解析 两名女生站一起有A种站法，她们与两个男生站一起共有AA种站法，老师站在他们的中间则共有AAC＝24(种)站法，故应选D.
答案 D
二、填空题
6．(2021·大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种(用数字作答)．
解析 依题意，全部的决赛结果有CCC＝6××1＝60(种)．
答案 60
7．(2022·杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．
解析 分两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组同学全排三所学校，即进行全排列，有A种．依分步乘法计数原理，共有N＝CA＝36(种)．
答案 36
8．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个．
解析 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，∴符合条件的三位数共有C·C·A＝36(个)．
答案 36
三、解答题
9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？
解 先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C种方法，再排另两张卡片有A种方法．
又数字“9”可作“6”用，
∴四张卡片组成不同的四位数有2CA＝12个．
10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．
(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？
解 (1)每个盒子放一球，共有A＝24种不同的放法；
(2)法一 先选后排，分三步完成．
第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；
其次步：选两球为一个元素，有C种选法；
第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法．
故共有4×CA＝144种放法．
法二 先分组后排列，看作安排问题．
第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法；
其次步：将四个球分成2,1,1三组，有C(即)种分法；
第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种分法．
故共有CCA＝144种分法．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，问试验挨次的编排方法共有( )．
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
解析 程序A有A＝2种结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有AA＝48种，∴由分步加法计数原理，试验编排共有2×48＝96种方法．
答案 C
2．(2022·济南调研)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )．
A．33 B．34 C．35 D．36
解析 (1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.
(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C×1＝C.
(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个．∴由分类加法计数原理，共确定不同的点有CA＋C＋CA＝33(个)．
答案 A
二、填空题
3．(2021·重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．
解析 按选派的骨科医生的人数分类：
①选1名骨科医生，则有C(CC＋CC＋CC)＝360(种)，
②选2名骨科医生，则有C(CC＋CC)＝210(种)，
③选3名骨科医生，则有CCC＝20(种)，
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.
答案 590
三、解答题
4．直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图
用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，
共有多少种不同的涂色方法？
解 法一 第1步，涂A区域有C种方法；第2步，涂B区域有C种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂
A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法．
故共有C·C·(4＋C·C)＝260种不同的涂色方法．
法二 共可分为三类：
第1类，用五色中两种色，共有CA种涂法；
第2类，用五色中三种色，共有CCCA种涂法；
第3类，用五色中四种色，共有CA种涂法．
由分类加法计数原理，共有CA＋CCCA＋CA＝260(种)不同的涂色方法.
同学用书第176页
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