2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第1章-第2讲-命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．
答案 A
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案 B
3．已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m≤2
C．m>2 D．－2<m<2
解析 A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1<x<3}
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A
∴AB
∴m＋1>3，即m>2.
答案 C
4．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析 x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
答案 D
5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)．
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析　否命题既否定题设又否定结论，故选B.
答案　B
6．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 (　　)．
A．0<a≤1 B．a<1
C．a≤1 D．0<a≤1或a<0
解析　法一　(直接法)当a＝0时，x＝－符合题意．
当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，
则⇔⇔a<0；
若方程两根均负，则⇔⇔0<a≤1.
综上所述，所求充要条件是a≤1.
法二　(排解法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排解A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排解B，所以选C.
答案　C
二、填空题
7．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈
p2：|a＋b|＞1⇔θ∈
p3：|a－b|＞1⇔θ∈
p4：|a－b|＞1⇔θ∈
其中真命题的个数是____________．
解析　由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，由于|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故θ∈.当θ∈时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，由于|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜，故θ∈，反之也成立，p4正确．
答案　2
8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案 －1
9．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析　A＝＝{x|－1<x<3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，
∴m＋1>3，即m>2.
答案　(2，＋∞)
10．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.
答案　充分不必要
三、解答题
11．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假．
解 (1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
12．求方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．
解 方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．
当a＝0时，x＝－适合条件．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，
则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，
当a＝1时，方程有一负根x＝－1.
当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝<0，
∴a<0.
综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.
13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假．
(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．
解　(1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
14．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，
q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.
∵p⇒q，q⇒/ p，
∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．
故有且两个等号不同时成立，解得a≥9.
因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．
15．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．
解 (1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．