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第3讲 简洁的规律联结词、全称量词与存 在量词
一、选择题
1. 已知命题p：存在n∈N,2n>1 000，则非p为( )
A．任意n∈N,2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000
C．存在n∈N,2n≤1 000 D．存在n∈N,2n<1 000
解析 特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p(x)，则非p：任意x∈M，非p(x)．
答案 A
2． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
解析 (筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排解A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排解B，故选C.
答案 C
3．下列命题中的真命题是 ( )．
A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
解析 由于sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；由于x∈时有sin x<cos x，故D错误．所以选B.
答案 B
4．已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解析 由于命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．
答案 D
5．已知命题p：∃x0∈R，mx＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
解析 若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，即綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0与綈q：∃x0∈R，x＋mx0＋1≤0均为真命题．依据綈p： ∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，依据綈q：∃x0∈R，x＋mx0＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.
答案 A
6．以下有关命题的说法错误的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B． “x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析 A、B、D正确；当p∧q为假命题时，p、q中至少有一个为假命题，故C错误．
答案 C
二、填空题
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．
答案 对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
8．存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．
解析 要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>.
答案 (－∞，0)∪
9．若“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，则实数a的取值集合是________．
解析 “∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，等价于(a－2)x＋1>0的解集为R，所以a－2＝0，所以a＝2.
答案 {2}
10．已知命题p：“∃x∈R且x>0，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“____________”；q的真假为________．(选填“真”或“假”)
答案 ∀x∈R＋，x≤ 假
11．命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析 题目中的命题为假命题，
则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，
也就是常见的“恒成立”问题，
只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，[来源:中_教_网z_z_s_tep]
即可解得－2≤a≤2.
答案 [－2，2]
12．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵对任意x∈R，p(x)是真命题．
∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a＞1.
答案 a＞1
13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，不等式明显成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.
答案 [－8,0]
三、解答题
14. 写出下列命题的否定，并推断真假.
(1)q: x∈R，x不是5x-12=0的根;
(2)r:有些素数是奇数;
(3)s: x0∈R，|x0|＞0.
解 (1)q: x0∈R，x0是5x-12=0的根，真命题.
(2)r:每一个素数都不是奇数，假命题.
(3)s:x∈R，|x|≤0，假命题.
15．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．假如“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解 由命题p为真知，0<c<1，
由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需<2，即c>，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0<c≤；
当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是.
16． 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则
解得m＞2，即命题p：m＞2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.
因“p∨q”为真，所以p，q至少有一个为真，
又“p∧q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，
因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．
∴或解得：m≥3或1＜m≤2，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].
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