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第十一章 其次节
一、选择题
1．(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
[答案] C
[解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有C＝15种选法，从5名女医生选1人有C＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．
2．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
[答案] B
[解析] 先从4人中选2人选修甲课程，有C种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有C×22＝24种方法．
3．某台小型晚会由6个节目组成，演出挨次有如下要求：节目甲必需排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必需排在最终一位，该台晚会节目演出挨次的编排方案共有( )
A．36种 B．42种
C．48种 D．54种
[答案] B
[解析] 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最终一位；中间4个节目无限制条件，有A种排法；其次类：甲排在其次位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第1位时有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案．
4．一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3！ B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
[答案] C
[解析] 本题考查捆绑法排列问题．
由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．
5．8名同学和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
A．AA B．AC
C．AA D．AC
[答案] A
[解析] 不相邻问题用插空法，8名同学先排有A种，产生9个空，2位老师插空有A种排法，所以最终有A·A种排法．故选A．
6．(2021·福州质检)某外商方案在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A．16种 B．36种
C．42种 D．60种
[答案] D
[解析] 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法，由分类计数原理知共A＋CA＝60种方法．
二、填空题
7．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参与团体竞赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．
[答案] 48
[解析] 选1名老队员，则有C·C·A＝36种；选2名老队员，则有C·C·C·A＝12种．共有36＋12＝48(种)．
8．有5名男生3名女生，从中选出5人分别担当语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必需担当语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
[答案] 840
[解析] 由题意知，从剩余7人中选出4人担当4个学科课代表，共有A＝840(种)．
9．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．
[答案] 180
[解析] 本小题主要考查排列组合的基础学问．
由题意知可分为两类，
1)选“0”，共有CCCA＝108个，
2)不选“0”，共有CA＝72个，
∴由分类加法计数原理得72＋108＝180.
三、解答题
10．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种方法？
[解析] (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC×A＝144(种)．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；其次类有序均匀分组有·A种方法，故共有C(CCA＋·A)＝84(种).
一、选择题
1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
[答案] C
[解析] 本题考查了利用组合学问来解决实际问题．
C－4C－CC＝－16－72＝560－88＝472.
另解：CC－3C＋CC＝－12＋4×＝220＋264－12＝472.
解题时要留意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重．
2．(2022·四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
[答案] B
[解析] 分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有CA＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．
二、填空题
3．在连续自然数100,101,102，…，999中，对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的挨次排成的三位数有________个．
[答案] 91
[解析] 分两类：①递减时，若有0，则0在个位，符合要求，从10个数字中选3个不相邻数字，相当于从10个位置中选3个不相邻的位置，故可将所选的3个位置插在其余7个位置的空位之中，故不同的状况共有C种；②递增时，不能有0，则应从1到9的9个数字中，选3个不相邻的数字，同①有C种，故所求的三位数有：C＋C＝91(个)．
4．(2022·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
[答案] 36
[解析] 本题考查了计数原理与排列组合学问．
先只考虑A与产品B相邻，此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有A＝24种方法，而A和B有2种摆放挨次，故总计24×2＝48种方法，再排解既满足A和B相邻，又满足A与C相邻的状况，此时用捆绑法，将A、B、C作为一个元素考虑，共有A＝6种方法，而A、B、C有2种可能的摆放挨次，故总计6×2＝12种方法．
综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．
三、解答题
5．在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？
[解析] 本题中的“双面手”有3人，仅能歌的2人，仅善舞的5人．把问题分为：(1)独唱演员从双面手中选，剩下的2个双面手和只能善舞的5个演员一起参与伴舞人员的选拔；(2)独唱演员不从双面手中选拔，即从只能唱歌的2人中选拔，这样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参与伴舞人员的选拔．故选法种数是CC＋CC＝245.
6．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直到找到全部4件次品为止．
(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最终一件次品，则共有多少种不同的测试方法
(2)若至多测试6次就能找到全部4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
[解析] (1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最终一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；
第8次测到最终一件次品有3种抽法；
第3至第7次抽取测到最终两件次品共有A种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有AAA＝86 400种抽法．
(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4AA种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4AA＋A种．
由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为
A＋4AA＋4AA＋A＝8 520.
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