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第十一章 第六节
一、选择题
1．有一杯1L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( )
A．0 B．0.1
C．0.01 D．1
[答案] B
[解析] 小杯水含有这个细菌的概率为P＝＝0.1.
2．(2022·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 考查了几何概型．
总面积2×1＝2.
半圆面积×π×12＝.∴p＝＝.
3．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )
A．3.84 B．4.84
C．8.16 D．9.16
[答案] C
[解析] 矩形的面积为12，设椭圆的面积为S，
则≈，解得S≈8.16.
4．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 面积为36cm2时，边长AM＝6cm；
面积为81cm2时，边长AM＝9cm.
∴P＝＝＝.
5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 如图，在AB边上取点P′，
使＝，则P只能在AP′上(不包括P′点)运动，则所求概率为＝.
6．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离
d＝＝≤，
解得－1≤a≤3.
又a∈[－5,5]，故所求概率为＝.
二、填空题
7．(2022·福建高考)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估量阴影部分的面积为________．
[答案] 0.18
[解析] 本题考查了几何概型．由比例知＝，
∴S＝0.18.
8．(文)设函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为________．
[答案]
[解析] 由f(x0)≤0，得－1≤x0≤2，
则f(x0)≤0的概率为P＝＝.
(理)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
[答案] 3
[解析] 本题考查的是几何概型．
由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5冲突舍去．
当2<m<4时，由题意得：＝，解得m＝3.
即m的值为3.
9．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序数对(x，y)记大事A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝________.
[答案]
[解析] 大事“从区间[－1,1]上任取两数，x，y组成有序数对(x，y)”的全部结果都落在－1≤x≤1，且－1≤y≤1为正方形区域中，而大事A的全部结果都落有以(0,0)为圆心的单位圆面上，故μA＝π，μΩ＝2×2＝4，
∴P(A)＝.
三、解答题
10．如图所示，在单位圆O的某始终径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
[解析] 弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记大事C＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(C)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(C)＝1－.
即所求弦长不超过1的概率为1－.
一、选择题
1．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到其次个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为，故选C．
2．(文)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 区域Ω为△AOB，区域A为△OCD，
∴所求概率P＝＝＝.
(理)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝sinxdx＝－cosx|＝－(cosπ－cos0)＝2，再依据几何概型的算法易知所求概率是＝＝.
二、填空题
3．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________．
[答案]
[解析] 设三棱锥P－ABC的高为h，
∵VP－ABC<VS－ABC，∴S△ABC×h<×S△ABC×3，
∴h<，即点P位于中截面以下，
故所求概率为P＝1－＝.
4．(文)在区域M＝{(x，y)|}内随机撒一把黄豆，落在区域N＝{(x，y)|}内的概率是________．
[答案]
[解析] 画出区域M，N，如图，区域M为矩形OABC，区域N为图中阴影部分．
S阴影＝×4×2＝4，故所求概率P＝＝.
(理)已知m∈[1,7]则函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数的概率为______．
[答案]
[解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
依题意，知f′(x)在R上恒大于或等于0，
所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0，得2≤m≤4.
又m∈[1,7]，所以所求的概率为＝.
三、解答题
5．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C上的全部点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
[解析] (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，
∴所求概率为P＝.
(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，
∴所求概率为P＝＝.
6．(文)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解析] 设大事A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥B．
(1)基本大事共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值．
大事A中包含9个基本大事，大事A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，
构成大事A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
故所求的概率为P(A)＝＝.
(理) 已知函数f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)．
(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率；
(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．
[解析] (1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2,3}中任一个元素
∴a，b取值的状况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值．即基本大事总数为16.
设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为大事A
当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a不等于零
当b>a且a≠0时，a，b取值的状况有(1,2)，(1,3)，(2,3)
即A包含的基本大事数为3，
∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝.
(2)由b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，
这是一个矩形区域，其面积Sa＝2×3＝6.
设“方程f(x)＝0没有实根”为大事B，则大事B所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a>b}．
其面积Sb＝6－×2×2＝4，
由几何概型的概率计算公式可得：
方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝＝＝.
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