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其次章 第一节
一、选择题
1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
[答案] C
[解析] 本题考查了代入法求函数解析式．
f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件，故选C．代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．
2．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( )
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x0
C．y＝|x－1|与y＝
D．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1
[答案] B
[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B，A中第一个函数x≠0，其次个函数x∈R，C中其次函数x≠1，第一个函数x∈R，D当x<0时，第一个函数为y＝－2x＋1，明显与其次函数不是同一函数．
(理)下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a>0，a≠1)
B．f(x)＝()2，g(x)＝
C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x－1(x∈Z)
D．f(x)＝，g(t)＝
[答案] D
[解析] 选项A、B、C中函数的定义域不同．
3．设函数f(x)＝，若f(α)＝4，则实数α＝( )
A． －4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
[答案] B
[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础学问．
当α≤0时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2.
综上可得：α＝－4或2，选B．
4．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B．(－1，－)
C．(－1,0) D．(，1)
[答案] B
[解析] 本题考查复合函数定义域的求法．
f(x)的定义域为(－1,0)
∴－1<2x＋1<0，∴－1<x<－.
5．(2022·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )
A．c≤3 B．3<c≤6
C．6<c≤9 D．c>9
[答案] C
[解析] ∵f(－1)＝f(－2)＝f(－3)
解得
∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，
又∵0<f(－1)≤3，∴0<c－6≤3，∴6<c≤9，选C．
6．在给定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，点(，－)的原像是( )
A．(，－)
B．(，－)或(－，)
C．(，－)
D．(，－)或(－，)
[答案] B
[解析] 由已知得：解方程组得
或 故选B．
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
[答案] {x|－3<x<2}
[解析] 要使函数有意义，只需6－x－x2>0，
∴x2＋x－6<0.∴－3<x<2，
∴f(x)的定义域为{x|－3<x<2}．
8．图中的图像所表示的函数的解析式f(x)＝________.
[答案] f(x)＝
[解析] 由图像知每段为线段．
设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1，)和(1，)，(2,0)分别代入求解
9．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f [g(1)]的值为________；满足f [g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
[答案] 2 2
[解析] f [g(1)]＝f(3)＝2.
x
1
2
3
f[g(x)]
2
3
1
g[f(x)]
3
1
2
故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝，求f(g(x))和g(f(x))的解析式．
[解析] 当x≥0时，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1；
当x<0时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3；
∴f(g(x))＝
又∵当2x－1≥0，即x≥时，g(f(x))＝(2x－1)2；
当2x－1<0，即x<时，g(f(x))＝－1；
∴g(f(x))＝
一、选择题
1．函数f(x)＝(m，n为常数，且m≠0)满足f(1)＝，f(x)＝x有唯一解，则f(x)＝( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由f(1)＝可得＝，即m＋n＝2，由f(x)＝x有唯一解可得x()＝0有唯一解，得x＝＝0，得n＝1，综上得m＝1，n＝1，故f(x)＝.
2．(改编题)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2021(x)＝( )
A． B．
C．x D．－
[答案] B
[解析] 由已知条件得到
f2(x)＝f[f1(x)]＝＝＝－，
f3(x)＝f[f2(x)]＝＝＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝＝＝x，
f5(x)＝f[f4(x)]＝，
易知fn(x)是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3，
所以f2021(x)＝f3(x)＝.
二、填空题
3．(2022·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
[答案] x≤8
[解析] 当x<1时，ex－1<1，则ex－1≤2，∴x<1成立．
当x≥1时，x≤2，则x≤8.∴1≤x≤8.
综上，x≤8.
4．(文)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；
③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
④在定义域上具有单调性的函数确定是单函数．
其中的真命题是________(写出全部真命题的编号)
[答案] ②③④
[解析] 该题为信息考查题，考查同学迁移学问的力气，考查“单函数”的意义．
由x＝x，未必有x1＝x2，故①不正确；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时确定有x1＝x2，故②正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，确定有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，故④正确．
(理)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)确定是单函数．
其中的真命题是________．(写出全部真命题的编号)
[答案] ②③
[解析] 当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原像时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件冲突，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时在整个定义域上不愿定单调，因而f(x)不愿定是单函数，故④不正确．故答案为②③.
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
(1)y＝＋lgcosx；
(2)y＝；
(3)y＝lg.
[解析] (1)由得
∴函数的定义域为∪∪.
(2)由(x2－1)≥0，得0<x2－1≤1，
∴－≤x<－1或1<x≤.
∴函数的定义域为{x|－≤x<－1或1<x≤}．
(3)由1－>0，得x>1或x<0，
∴函数的定义域为{x|x>1或x<0}．
6．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
[解析] (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．
f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，
即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.
∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.
①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝，
则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③当λ>－1时，同理需≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．
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