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双基限时练(十六)
1．设f(x)＝，则 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ＝ ＝
＝－ ＝－.
答案 C
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析 由导数的定义，知y′＝2x，∴tan＝1，y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝，则y0＝，故选D.
答案 D
3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析 由导数的定义知y′＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2.
∴a＝1.
答案 A
4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．h′(a)<0 B．h′(a)>0
C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定
答案 A
5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. 2 B. 1
C. D.
答案 C
6．函数f(x)＝－2x2＋3在点(0,3)处的导数是________．
答案 0
7．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
解析 从图中可知，切线的方程为＋＝1，
∴切线的斜率为－，∴f′(2)＝－.
当x＝2时，代入方程得y＝，f(2)＝，
∴f(2)＋f′(2)＝－＝.
答案
8．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________．
解析 由导数的定义可知y′＝2x，设P(x0，y0)，
∴y′|x＝x0＝2x0＝3，∴x0＝.
∴y0＝x＝，∴P的坐标为(， )．
答案 (，)
9．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析 ∵点M(1，f(1))是切点，在切线上，∴f(1)＝×1＋2＝.由切线的几何意义知，f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案 3
10．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 由于f′(1)＝ ＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－.所以所求的直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋4y－9＝0.
11．求双曲线y＝在点(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
解 ∵y＝，
∴k＝ ＝
＝ ＝－.
∴当x＝时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.
切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.
12．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解 (1)由解得或
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝
＝
＝ (Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6.
∴在点(－2,8)处的切线斜率为－4，切线方程为
y－8＝－4(x＋2)，即4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线斜率为6，切线方程为
y－13＝6(x－3)，即6x－y－5＝0.
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