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习题课(1)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2022·福建卷)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设等差数列{an}的公差为d，由于a1＋a5＝10，所以a1＋a1＋4d＝2a1＋4d＝10 ①，而a4＝a1＋3d＝7 ②，联立①②解得d＝2.
答案：B
2．(2022·重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7 B．15
C．20 D．25
解析：数列{an}的公差d＝＝2，则a1＝－1，a5＝7，所以S5＝＝15.
答案：B
3．若数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于( )
A. B.
C. D.
解析：设等差数列的公差为d，则4d＝－，由a6＝0，a2＝2，得d＝，所以＝＋2d＝＋2×，解得a4＝.
答案：A
4．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为( )
A．12 B．18
C．22 D．44
解析：S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝10，则a6＝2，从而S11＝×11＝11a6＝22.
答案：C
5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B.升 C.升 D.升
解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得，即，解得，所以a5＝a1＋4d＝.
答案：B
6．(2022·浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意的n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
解析：依据等差数列的前n项和与二次函数的关系可得A，B，D正确．对于选项C，若数列{an}：－1,1,3，…，则数列{Sn}：－1,0,3，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不成立，故C错误．
答案：C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2022·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________.
解析：设{an}的公差为d，由于S2＝a3，所以a1＋a2＝a3，从而a1＋a1＋d＝a1＋2d，解得d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
答案：1 n2＋n
8．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
解析：由题意得S9＝S4，则5a1＋30d＝0，即a1＋6d＝0，所以d＝－.又ak＋a4＝0，即a1＋(k－1)×＋a1＋3×＝0，即(k－1)×＝－，则k＝10.
答案：10
9．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝4，则的值为________．
解析：由题意知S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．由＝4，得S4－S2＝3S2，从而S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，从而＝.
答案：
三、解答题(共46分，写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)
10．(本小题15分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解：(1)设{an}的公差为d，则由已知得，解得，所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.
(2)由(1)知Sn＝na1＋d＝10n－n2.由于Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
11．(本小题15分)已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q为常数)．
(1)当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意的p，q，数列{an＋1－an}是等差数列．
解：(1)若数列{an}是等差数列，则an－an－1＝2pn－p＋q(n≥2)是一个与n无关的常数，所以2p＝0，即p＝0.故当p＝0，q为任意实数时，数列{an}是等差数列．
(2)由(1)知an－an－1＝2pn－p＋q(n≥2)，an＋1－an＝2p(n＋1)－p＋q，则(an＋1－an)－(an－an－1)＝2p(常数)，所以，对任意的p，q，数列{an＋1－an}是等差数列．
12．(本小题16分)(2022·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.当n>1时有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.
综上，{an}的通项公式为an＝
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