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第十章 其次节
一、选择题
1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)；4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( )
A．0.05 B．0.25
C．0.5 D．0.7
[答案] D
[解析] 由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为＝0.7.
2．某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
[答案] D
[解析] 把该组数据按从小到大的挨次排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b＝＝15，众数是c＝17，则a<b<c，选D．
3．一个样本数据按从小到大的挨次排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，其中，中位数为22，则x等于( )
A．21 B．22
C．23 D．20
[答案] A
[解析] 由于样本数据个数为偶数，中位数为＝22，故x＝21.
4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
(0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为( )
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
[答案] C
[解析] 由列表可知样本数据落在 (10,40]上的频数为52，故其频率为0.52.
5．(2022·山东高考)为了争辩某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的挨次分别编号为第一组，其次组，……，第五组．下图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8
C．12 D．18
[答案] C
[解析] 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4
∴志愿者的总人数为＝50(人)．
第三组的人数为：50×0.36＝18(人)
有疗效的人数为18－6＝12(人)
6．甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶5次，两人成果的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成果的平均数小于乙的成果的平均数
B．甲的成果的中位数等于乙的成果的中位数
C．甲的成果的方差小于乙的成果的方差
D．甲的成果的极差小于乙的成果的极差
[答案] C
[解析] 本题考查了数理统计中的平均数、中位数、方差、极差及条形图等问题．
甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，乙＝(5×3＋6＋9)＝6，甲的成果的方差为(22×2＋12×2)＝2，
乙的成果的方差为(12×3＋32×1)＝2.4.故选C．
二、填空题
7．为了了解某校今年预备报考飞行员的同学的体重状况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．
[答案] 48
[解析] 据频率分布直方图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，第2小组的频率为0.75×＝0.25，又其频数为12，故总人数为＝48(人)．
8．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成果(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成果较为稳定(方差较小)的那位运动员成果的方差为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查统计中方差的计算．
甲＝90，且S＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
乙＝90，且S＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.
由于S>S，所求方差为2.
9．如图所示，是海尔电视机厂产值统计图，产值最少的是第________季度，产值最多的是第________季度．第四季度比其次季度增产________%.
[答案] 二 四 150
[解析] 折线图描述某种现象在时间上的进展趋势．图中折线表示了海尔电视机厂四个季度产值先削减后增多，且其次季度最少，第四季度最多．第四季度比其次季度增产15万元，增产150%.
三、解答题
10．(2022·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估量这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
[解析] (1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估量值为100，方差的估量值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估量值为
0．38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估量值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
一、选择题
1．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A．30% B．10%
C．3% D．不能确定
[答案] C
[解析] 本题考查了扇形图，条形图．由图2知小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元．占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.
2．甲、乙两名同学在五次考试中数学成果统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是( )
甲 乙
9 8
5
8 5
9
10
11
5
6 8
2 4
A．甲的平均成果比乙的平均成果高
B．甲的平均成果比乙的平均成果低
C．甲成果的方差比乙成果的方差大
D．甲成果的方差比乙成果的方差小
[答案] C
[解析] 本题考查茎叶图学问及样本数据中的均值与方差的求解及其意义．可以求得两人的平均成果相同，均为107，又S＝[(98－107)2＋(99＋107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8，而S＝[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44，故选C．
二、填空题
3．从某学校随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的同学中，用分层抽样的方法选取18人参与一项活动，则从身高在[140,150]内的同学中选取的人数应为________．
[答案] 0.030 3
[解析] 由全部小矩形面积为1不难得到a＝0.030，而三组身高区间的人数比为321，由分层抽样的原理不难得到[140,150]区间内的人数为3人．
4．(2022·江苏高考)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.
[答案] 24
[解析] 本题考查频率分布直方图．
由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.
频率分布直方图中的纵坐标为，此处经常误认为纵坐标是频率．
三、解答题
5．若某产品的直径长与标准值的差的确定值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发觉有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
[－3，－2)
0.10
[－2，－1)
8
(1,2]
0.50
(2,3]
10
(3,4]
合计
50
1.00
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；
(2)估量该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发觉有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．
[解析] (1)
分组
频数
频率
[－3，－2)
5
0.10
[－2，－1)
8
0.16
(1,2]
25
0.50
(2,3]
10
0.2
(3,4]
2
0.04
合计
50
1
(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.
(3)设这批产品中的合格品数为x件，
依题意有＝，
解得x＝－20＝1 980.
所以该批产品的合格品件数估量是1 980件．
6．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾，数据统计如下(单位：t)：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估量厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估量生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
(注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数)
[解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为大事A，则大事表示生活垃圾投放正确．
大事的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()≈＝0.7.
所以P(A)≈1－0.7＝0.3.
(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．
由于＝(a＋b＋c)＝200，
所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]
＝80 000.
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