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1．(2022·扬州调研)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．
解 (1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos
＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx
＝sin ωx＋cos ωx
＝sin，
∵＝π且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin，
由x∈得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
2．(2021·常州监测)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a，b)，q＝(sin B，sin A)，n＝(b－2，a－2)．
(1)若p∥q，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若p⊥n，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵p∥q，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·(其中R是△ABC外接圆的半径)．
∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由p⊥n得p·n＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，
∴a＋b＝ab.
又c＝2，∠C＝，∴4＝a2＋b2－2abcos ，即有
4＝(a＋b)2－3ab.
∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(ab＝－1舍去)．
因此S△ABC＝absin C＝×4×＝.
3．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)设函数f(x)＝6cos2x－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期和值域；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cos A＝，求a和sin C.
解 (1)f(x)＝6×－sin 2x＝3cos 2x－sin 2x＋3
＝2cos＋3.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，
值域为[3－2，3＋2]．
(2)由f(B)＝0，得cos＝－.
∵B为锐角，∴＜2B＋＜，2B＋＝，∴B＝.
∵cos A＝，A∈(0，π)，∴sin A＝＝.
在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝.
∴sin C＝sin(π－A－B)＝sin
＝cos A＋sin A＝.
4．(2021·天津十二区县重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且3cos Acos C(tan Atan C－1)＝1.
(1)求sin的值；
(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．
解 (1)由3cos Acos C(tan Atan C－1)＝1得
3cos Acos C＝1，
∴3(sin Asin C－cos Acos C)＝1，
∴cos(A＋C)＝－，
∴cos B＝，
又0＜B＜π，∴sin B＝，
∴sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝－，
∴sin＝sin 2Bcos －cos 2Bsin
＝·－·
＝.
(2)由余弦定理得cos B＝＝，
∴＝，
又a＋c＝，b＝，∴ac＝，
∴S△ABC＝acsin B＝.
5．(2021·成都诊断)设函数f(x)＝sin＋2sin2(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＋1
＝sin＋1.
∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π，
∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＋1.
(2)由f(A)＝，得sin＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
∵S＝bcsin A＝6，
∴bcsin ＝6，bc＝24，
由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.
∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
6．(2021·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
(1)若x1＝，求x2；
(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tan α的值．
解 (1)由于x1＝，y1＞0，所以y1＝＝，
所以sin α＝，cos α＝，
所以x2＝cos＝cos αcos－sin αsin＝－.
(2)S1＝sin αcos α＝sin 2α.
由于α∈，所以α＋∈，
所以S2＝－sincos
＝－sin＝－cos 2α.
由于S1＝S2，所以sin 2α＝－cos 2α，即tan 2α＝－，所以＝－，解得tan α＝2或tan α＝－.
由于α∈，所以tan α＝2.
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