资源描述
2.3 总体特征数的估量
课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估量总体数字特征的方法.3.会应用相关学问解决简洁的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数
(1)众数的定义：
一组数据中重复毁灭次数最多的数称为这组数的众数．
(2)中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大的挨次排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．
①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大挨次排列的中间位置的那个数．
②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数．
(3)平均数
n个数据a1，a2，…，an的平均数或均值记作＝________________＝ai.
2．一组数据的________与________的差称为极差．
3．设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称____________________为这个样本的________，其算术平方根s＝为样本的________，分别简称样本方差、样本标准差．
一、填空题
1．下列说法正确的是________．
①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大；
②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；
③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；
④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．
2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为__________．
3．甲、乙两位同学都参与了由学校举办的篮球竞赛，他们都参与了全部的7场竞赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球竞赛活动中，发挥得更稳定的是________．
4．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是________．
5．如图是2010年某校进行的元旦诗歌朗诵竞赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为________．
6．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则下列各式正确的是________．
①A>B，sA>sB；②A<B，sA>sB；
③A>B，sA<sB；④A<B，sA<sB.
7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.
8．甲、乙两名射击运动员参与某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成果如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
假如甲、乙两人只能有1人入选，则入选的应为________．
9．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，这21个数据的方差为________．
二、解答题
10．(1)已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，xn－2的方差；
(2)设一组数据x1，x2，…，xn的标准差为sx，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的标准差为sy，求sx与sy的关系．
11．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成果状况如图所示：
(1)请填写表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成果更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成果好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成果好些)；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
力气提升
12．下面是一家快餐店全部工作人员(共7人)一周的工资表：
总经理
大厨
二厨
选购员
杂工
服务员
会计
3 000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
(1)计算全部人员一周的平均工资；
(2)计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？
(3)去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？
13．师大附中三班级一班40人随机平均分成两组，两组同学一次考试的成果状况如下表：
统
计
量
组
别
平均成果
标准差
第一组
90
6
其次组
80
4
求全班的平均成果和标准差．
1．平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量．
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些状况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，由于这些极端值有时是不能忽视的．
由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的转变都会引起平均数的转变，这是众数、中位数不具有的性质．也正由于这个缘由，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估量总体时牢靠性降低．
2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应当相等．
3．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
2．3 总体特征数的估量
学问梳理
1．(3) 2.最大值 最小值
3．s2＝ (xi－)2 方差 标准差
作业设计
1．②
解析 ①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低．
2．c>b>a
解析 由题意a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，
中位数为16，众数为18，即b＝16，c＝18，∴c>b>a.
3．乙
解析 方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．
∵5.09>3.72，故乙发挥得更稳定．
4．9s2
解析 s＝[9x＋9x＋…＋9x－n(3)2]＝9·(x＋x＋…＋x－n 2)＝9·s2(s为新数据的方差)．
5．85,1.6
解析 由题意＝(84＋84＋86＋84＋87)＝85.
s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝(1＋1＋1＋1＋4)＝
＝1.6.
6．②
解析 样本A数据均小于或等于10，样本B数据均大于或等于10，故A<B，
又样本B波动范围较小，故sA>sB.
7．91
解析 由题意得
即
解得，或.所以xy＝91.
8．甲
解析 甲＝9，s2甲＝0.4，乙＝9，s2乙＝1.2，故甲的成果较稳定，选甲．
9．0.19
解析 这21个数的平均数仍为20，从而方差为×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.
10．解 (1)设x1，x2，…，xn的平均数为，则有：
a＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
∵x1－2，x2－2，…，xn－2的平均数为－2，
则这组数据的方差
s2＝＝＝a.
(2)设x1，x2，…，xn的平均数为，则3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为3＋a.
sy＝＝
＝
＝＝3sx，
∴sy＝3 sx.
11．解 由折线图，知
甲射击10次中靶环数分别为：
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为：
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝＝7(环)，
乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝＝7(环)，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]
＝×(4＋2＋0＋2＋4)
＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]
＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)
＝5.4.
依据以上的分析与计算填表如下：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①∵平均数相同，
s甲<s2乙，
∴甲成果比乙稳定．
②∵平均数相同，
甲的中位数<乙的中位数，
∴乙的成果比甲好些．
③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成果比甲好些．
④甲成果在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的状况发生，乙较有潜力．
12．解 (1)平均工资即为该组数据的平均数
＝×(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝×5 250＝750(元)．
(2)由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由(1)所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平．
(3)除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为：
′＝×(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝×2 250＝375(元)．
这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平．
13．解 设第一组20名同学的成果为xi(i＝1,2，…，20)，
其次组20名同学的成果为yi(i＝1,2，…，20)，
依题意有：＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，故全班平均成果为：
(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)＝(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组同学成果的标准差为s1，其次组同学成果的标准差为s2，则
s＝(x＋x＋…＋x－202)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)
(此处，＝90，＝80)，又设全班40名同学的标准差为s，平均成果为(＝85)，故有
s2＝(x＋x＋…x＋y＋y＋…＋y－402)
＝(20s＋202＋20s＋202－402)
＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
s＝.
所以全班同学的平均成果为85分，标准差为.
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