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2021-2022学年第一学期龙海二中期末考高三数学（文科）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：龙海二中 姚跃宣
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.1
2.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3.已知直线，若直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.设为两个不同的平面，、为两条不同的直线，，有两个命题：：若，则； ：若，则；那么（ ）
A．“或”是假命题 B．“且”是真命题
C．“非或” 是假命题 D．“非且”是真命题
5.某中学高三班级从甲、乙两个班级各选出7名同学参与数学竞赛，
他们取得的成果（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班同学的
平均分是85，乙班同学成果的中位数是83，则的值为（ ）
第 5题图
A． B． C． D．
6.已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7.若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．7 D．6
8.图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）
第 8题图
A.32 B.16+16 C.48 D.16+32
9.已知，圆的圆心在直线则的最大值是（ ）
A.8 B.4 C.2 D.1
10.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且
，则等于（ ）
A. B. C. D.1
11.函数的图象大致是（ ）
A B C D
12.下列四个命题中不正确的是（ ）
A.若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分.
B.设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分.
C.已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆.
D.已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置．
13．在区间[-2，2]上随机取一个数，则大事“”发生的概率是 ．
第15题图
14.已知函数，则函数恰有
三个零点，则实数的取值范围是 .
15.已知如图所示的程序框图（未完成），设当箭头a指向①时，输出的结
果为，当箭头a指向②时，输出的结果为，则 __；
16.某种玩耍中，一只“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A
动身，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，它的爬行的路线
是AB→BB1→B1C1…，它们都遵循如下规章：所爬行的第i+2段与第i段所
在直线必需是异面直线（其中i是正整数）;则该“电子狗”爬完2022段
后与起始点A的距离是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18.（本小题满分12分）已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的取值范围；
（Ⅱ）若在△中，，求△的面积.
18.（本小题满分12分）某校打算为本校上学时间不少于30分钟的同学供应校车接送服务。为了解同学上学所需时间，从全校600名同学中抽取50人统计上学时间（单位：分钟），现对600人随机编号为001，002，．．．．．．600。抽取50位同学上学时间均不超过60分钟，将时间按如下方式分成六组，第一组上学时间在[0，10），其次组上学时间在[10，20），．．．．．．第六组上学时间在[50，60] 得到各组人数的频率分布直方图。如下图。
（Ⅰ）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，
且第一段的号码为006，则第五段抽取的号码是什么？
（Ⅱ）若从50个样本中属于第4组和第6组的全部人中随机抽取2人，设他们上学时间分别为a、b,求满足|a-b|>10的大事的概率；
（Ⅲ）设学校配备的校车每辆可搭载40名同学，请依据抽样的结果估量全校应有多少辆这样的校车？
20. （本小题满分12分）如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE//BC，DC⊥BC，DE=BC=2，AC=CD=3.
（Ⅰ）证明：EO//平面ACD；
（Ⅱ）证明：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求三棱锥E—ABD的体积.
21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B。
（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。
22．（本小题满分14分）已知函数
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的
单调区间；
（2）若对，都有恒成立，试求实数的取值范围；
（3）记，当时，函数在区间，上有两个零点，
求实数的取值范围（为自然对数的底数）.
2021-2022学年第一学期
龙海二中期末考高三数学（文科）试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
D
B
A
D
B
B
C
C
D
18、
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13、 14、 15、 20 16、
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （Ⅰ）解：设等差数列的公差是．
依题意 ， 从而． …… 2分
所以 ， 解得 ．
所以数列的通项公式为 ． …… 6分（Ⅱ）解：
…… 12分
18. 解：
……3分
（1）当时，
所以 所以 …… 6分
（2）由, 可得;
由于, 所以;
方法一：由于在△中，
由正弦定理知 ，所以 …… 9分
由于所以，即； 所以所以
因此△的面积为 …… 12分
方法二：设AB=x，由余弦定理得：
即；解得
因此△的面积为。 …… 12分
19. 解：（1），第一段的号码为006，
第五段抽取的数是，即第五段抽取的号码是054 …… 3分
（2）第4组人数，这4人分别设为A、B、C、D
第6组人数，这2人分别设为x，y …… 5分
随机抽取2人的可能状况是：
AB；AC；AD；BC；BD；CD；xy；Ax；Ay；Bx；By；Cx；Cy；Dx；Dy ；一共15种状况， …… 8分
其中他们上学时间满足|a-b|>10的状况有：Ax；Ay；Bx；By；Cx；Cy；Dx；Dy；共8种
所以满足|a-b|>10的大事的概率 …… 10分
（3）全校上学时间不少于30分钟的同学约有：
600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人所以估量全校需要3辆校车。 …… 12分
20.
21. 解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，由于，所以，
又由于，所以，解得，
故椭圆方程为 …… 3分
(Ⅱ) 联立方程消去y,并整理得，
，解得 …… 6分
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明。
设，，则。
所以直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形。 …… 12分
22.解：（1）由曲线在点处的切线与直线垂直，可知 由于所以解得所以fˊ(x)=，其中x>0 由fˊ(x)>0，得：x>2；由fˊ(x)<0，得：0<x<2
所以f(x)的单调递增区间是(2，+∞)，单调递减区间是(0，2) …… 4分
（2）依题意可知对，都有恒成立
即在区间上恒成立由于，
所以（当且仅当时取到等号）
所以,又由于,所以 …… 8分
（3）当时，
所以令可得，令可得
故在上单调递减，在上单调递增 …… 10分
由于函数在区间上有两个零点
所以，即 所以，
由于故
所以 …… 14分
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