福建省福州三中2021届高三5月份模拟考试数学(理)-Word版含答案.docx

福州三中2021年校模拟考试
理科数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，，若，则实数的取值
输出

结束
开头
是
否
输入

范围是（ ）
A． B． C． D．
3．执行如图所示的程序框图，若，则输出的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知角的终边经过点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．复数在复平面上对应的点不行能位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为 ( )
第7题图
1

2

0.5

1

A． B． C． D．
7．在如图的表格中，假如每格填上一个数后，每一横行成等差数列，
每一纵列成等比数列，那么的值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
8．定义在R上的函数，对都有，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数
9．若等式对于一切实数都成立，
则( )
A． B． C． D．0
10．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的全部直线中（ ）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
11．一个总体分为三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为___________．
12．在中，若角A为锐角，且，则实数的取值范围是________．

D
C
B
A

A
B
C
D
（13题图）
13．如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个, 允许重复．若填入A方格的数字大于方格的数字，则不同的填法共有_______种（用数字作答）．

14．如图，在长方体中，，沿该
长方体对角面将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，
那么这个四棱柱表面积的最大值为___________．
（14题图）

1
y
x
O

1
15．为了近似估量的值，用计算机分别产生个在的均匀随机数和，在组数对中，经统计有组
数对满足，则以此估量的值为________．
（15题图）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分13分）
甲、乙两支篮球队赛季总决赛接受7场4胜制，每场必需分出胜败，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束竞赛．现已竞赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力缘由，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以，获胜的概率；
（Ⅱ）设X表示决出冠军时竞赛的场数，求X的分布列及数学期望．

17.（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数（）在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：

（Ⅰ）恳求出上表中的的值，并写出函数的解析式；
（Ⅱ）将的图像向右平移个单位得到函数的图像，若函数在区间
（）上的图像的最高点和最低点分别为，求向量与夹角的大小．

18.（本小题满分13分）
3
O
y
x
在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
(Ⅰ)求动点的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线和与直线分别交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分13分）
如图，菱形的边长为，现将沿对角线折起至位置，并使平面平面．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)在菱形中，若，求直线与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)求四周体体积的最大值．

20．（本小题满分14分）
已知函数 ．
(Ⅰ) 争辩函数的单调性；
(Ⅱ) 若，数列满足．
（1）若首项，证明数列为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列为递增数列，求首项的最小值．

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．假如多做，则按所做的前两题计分．
（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换
在平面直角坐标系中，矩阵对应的变换将平面上的任意一点变换为点．
(Ⅰ)求矩阵的逆矩阵；
(Ⅱ)求圆在矩阵对应的变换作用后得到的曲线的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线过点，斜率为，曲线：．
(Ⅰ)写出直线的一个参数方程及曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线与曲线交于两点，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知，函数的最大值为．
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)若实数满足，求的最小值．
福州三中2021年校模拟考试理科数学参考答案
一、选择题：
ADCBC CADBC
9、解法一：∵，
∴（C为常数），
取得，
再取得，即得，
∴，故选B．
解法二：∵，
∴
∴，故选B．
10、解：设一条直线上存在两个有理点，由于也在此直线上，若，则为无理数与有理点予盾，所以，于是，又由于为无理数，而为有理数，所以，于是，所以直线只有一条，且这条直线方程只能是，故正确的选项为C．
二、填空题
11．300
12．由于角A为锐角，所以且不共线，所以且，于是实数的取值范围是．
13．若A方格填3，则排法有种，若A方格填2，则排法有种，所以不同的填法有27种．

1
y
x
O

1
14．当的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为．
15．设，则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所
围成的弓形面积，由图知，，又，所以

三、解答题：
16、解：（Ⅰ）设甲队以，获胜的大事分别为A，B，
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴， ，
∴甲队以，获胜的概率分别为和．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，
∴， ， ，
∴随机变量X的分布列为

X
5
6
7

．
17、解：（Ⅰ）由条件知，，，∴，，
∴，．
（Ⅱ）∵函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，
∴，
∵函数在区间（）上的图像的最高点和最低点分别为，
∴最高点为，最低点为， ∴， ，
∴，又，∴．
18、解：(Ⅰ) ∵点与关于原点对称，∴点，
设，∵直线与的斜率之积等于，
N
3
O
y
x
M
B
A
P
∴，化简得 ，
∴动点的轨迹方程为 .
(Ⅱ)法一：设存在点，使得与的面积相等，
∴，
∵，
∴， 即， ∴，解得，
∵， ∴， ∴满足条件的点P为.
法二：设，
∴，解得 ，
∴，
∵，，又点到直线的距离，
∴，
∴， ∴，解得，
∵， ∴， ∴满足条件的点P为.
19、解：（Ⅰ）证明:取中点，连接，由于四边形为菱形，
， 又，
平面，又平面， .
(Ⅱ) 平面平面， 平面平面, ， ，
两两垂直，
故以为原点，以方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
，菱形的边长为，
∴,
，
设平的法向量，直线与平成角为，
∴，取，则，于是，
∴， ∴直线与平面成角的正弦值为.
（Ⅲ）法一：
设, ∴， ，
又平面ABC， ∴
()，
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四周体PABC体积的最大值为．
法二：设,
∴，，又平面ABC，
∴
()，
设，则，且，
∴，
∴当时，，当时，，
∴当时，取得最大值，∴四周体PABC体积的最大值为．
法三：设，则，，
又平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当，即时取等号，∴四周体PABC体积的最大值为．
20、解(Ⅰ) ∵，
∴（），
当时,则在上恒成立，
当时,若，则，若或，则，
当时, 若，则，若或，则，

综上所述：
当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增．
(Ⅱ)若，则，由(Ⅰ)知函数在区间上单调递增，
（1）由于，所以，可知，
假设（），由于函数在区间上单调递增，
∴，即得，
由数学归纳法原理知，对于一切正整数都成立，∴数列为递增数列．
（2）由（1）知：当且仅当，数列为递增数列，
∴，即 ，　
设 ，则，
∴函数在区间上递增，
由于，，又为正整数，∴首项的最小值为．
21、（1）解：
(Ⅰ)法一：设，依题意得：，
∴ ， ∴， ∴ ．
法二：设，依题意得：，
∴ ， ∴ ．
(Ⅱ) ∵点在圆上，又，
∴，即得，
∴变换作用后得到的曲线的方程为．
（2）解：(Ⅰ) ∵ 直线过点，斜率为，
∴直线的一个参数方程为 ；
∵， ∴ ， 即得，
∴， ∴曲线的直角坐标方程为．
(Ⅱ) 把代入整理得：，
设点对应的参数分别为，则， ∴．
（3）解：(Ⅰ)
∵， ∴， 当时取等号，
∴，又的最大值为， ∴，即．
(Ⅱ)依据柯西不等式得：,
∵， ∴,
当，即时取等号，∴的最小值为．