2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第八章-第八节抛-物-线.docx

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课时提升作业(五十七)
一、选择题
1.(2021·海口模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上，则p=( )
(A) (B)1 (C)2 (D)3
2.(2021·厦门模拟)一动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点( )
(A)(4,0) (B)(2,0) (C)(0,2) (D)(0,-2)
3.(2021·贵阳模拟)一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是( )

4.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )

5.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有
( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
6.(2021·哈尔滨模拟)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
(A)48 (B)56 (C)64 (D)72
7.(2021·西安模拟)若双曲线(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成3∶2的两段，则此双曲线的离心率为( )

8.(力气挑战题)已知M是上一点，F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)10
二、填空题
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_______.
10.抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则m=_______.
11.(力气挑战题)如图，抛物线C1：y2=4x和圆C2：(x-1)2+y2=1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A,B,C,D四点，则的值是_______.

三、解答题
12.已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0，2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程.
13.(2021·宁德模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
14.(2021·武汉模拟)如图，椭圆C：的焦点在x轴上，左右顶点分别为A1,A，上顶点为B，抛物线C1,C2分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O,C1与C2相交于直线上一点P.

(1)求椭圆C及抛物线C1,C2的方程.
(2)若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M,N，已知点
求的最小值.

答案解析
1.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上，
所以有
即p2+4p-12=0，解得p=2或p=-6(舍去).
2.【解析】选B.x=-2为抛物线y2=8x的准线，由抛物线的定义可知,动圆圆心到焦点(2,0)的距离等于圆心到准线x=-2的距离，故动圆必过定点(2,0).
3.【解析】选A.如图，设AB所在的直线方程为

由
得B点坐标为(12,),

4.【解析】选A.由已知得1+=5,∴p=8.
∴y2=16x,又M(1,m)在y2=16x上,
∴m2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4).
又双曲线的左顶点一条渐近线为
又
5.【解析】选C.作出图形，可知点(0，1)在抛物线y2=4x外.因此，过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条，还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.
6.【解析】选A.由题不妨设A在第一象限，联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而准线方程是
x=-1，所以AP=10,QB=2,PQ=8,
故S梯形APQB＝(AP+QB)·PQ=48.
7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
抛物线即y2=2bx的焦点
依题意
即得：5b=2c⇒25b2=4c2,
又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,
解得
故双曲线的离心率为
8.【思路点拨】利用抛物线的定义，数形结合求解.
【解析】选B.由题意可知，焦点坐标为F(0,1)，准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H，由抛物线的定义，得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时，|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值，
于是，|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.
9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4)，准线方程为y=-4,故圆的圆心为
(0，4)，又圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
10.【解析】由于抛物线的标准方程为x2=16y，焦点坐标为(0，4)，又由于双曲线的上焦点坐标为依题意有解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易毁灭的焦点为(0，)的错误，缘由是对抛物线的标准方程记忆不精确.
11.【解析】由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0),
则

答案:1
12.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴当x=0时，P,O,Q三点共线，不符合题意，故x≠0.当x≠0时，得kOP·kOQ=-1,即化简得x2=2y，
∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).
(2)∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在.
设直线l2的方程为y=kx+b,
由得x2-2kx-2b=0.
∵直线l2与曲线C相切，
∴Δ=4k2+8b=0，即
点(0，2)到直线l2的距离

当且仅当时，等号成立.此时b=-1.
∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.
13.【解析】(1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p×1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)存在.假设存在符合题意的直线l，
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴Δ=4+8t≥0,解得
由直线OA与l的距离
解得t=±1.
∵-1∉[+∞),1∈[+∞).
∴符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.
14.【解析】(1)由题意A(a,0),B(0,)，设抛物线C1的方程为y2=4ax,抛物线C2的方程为x2=y,由
P(8,),
∴椭圆C：
抛物线C1:y2=16x,
抛物线C2:x2=4y.
(2)由(1)得直线OP的斜率为,
∴直线l的斜率
设直线l:y=x+b,
由消去y，得
5x2-bx+8b2-16=0.
∵动直线l与椭圆C交于不同的两点，
∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),
∴x1+x2=x1x2=

∴当时，取得最小值，其最小值为

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