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第十一章 第三节
一、选择题
1．(2022·湖北高考)若二项式(2x＋)7的开放式中的系数是84，则实数a＝( )
A．2 B．
C．1 D．
[答案] C
[解析] 二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故开放式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
2．(＋)n的开放式只有第六项的二项式系数最大，则开放式的常数项是( )
A．360 B．180
C．90 D．45
[答案] B
[解析] 由题意可知，n＝10.
通项为Tr＋1＝C()10－r()r＝22Cx，
令＝0，得r＝2.
故其常数项为22C＝180.
3．若二项式(x2－)n的开放式中二项式系数的和是64，则开放式中的常数项是( )
A．－240 B．－160
C．160 D．240
[答案] D
[解析] 由2n＝64，得n＝6.
于是，二项式(x2－)6的开放式的通项为Tr＋1＝Cx2(6－r)(－)r＝(－2)rCx12－3r，
令12－3r＝0，得r＝4，故其常数项为(－2)4C＝240.
4．(2021·烟台模拟)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的开放式中，x4的系数是( )
A．25 B．35
C．45 D．55
[答案] D
[解析] 二项式(1＋x)5中x4的系数为C，二项式(1＋x)6中x4的系数为C，二项式(1＋x)7中x4的系数为C，故(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的开放式中x4的系数为C＋C＋C＝55，故选D．
5．(2022·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的开放式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60
C．120 D．210
[答案] C
[解析] 本题考查组合应用及二项式定理．由条件得f(m，n)＝C·C，∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝20＋60＋36＋4＝120，选C．
6．假如(3x－)n的开放式中二项式系数之和为128，则开放式中的系数是( )
A．7 B．－7
C．21 D．－21
[答案] C
[解析] 由题意可知，2n＝128，解得n＝7.
(3x－)7的通项为Tr＋1＝C(3x)7－r(－)r
＝(－1)r37－rCx7－，
令7－＝－3，得r＝6.
其系数为(－1)6·37－6·C＝21.
二、填空题
7．在二项式(＋)n的开放式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.
[答案] 3
[解析] 由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，即2n＝8，n＝3.
8．若(x＋)n的开放式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该开放式中的系数为______．
[答案] 56
[解析] 本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：C＝C，得：n＝8.∵(x＋)8开放式中通项公式为Tr＋1＝Cx8－2r，∴令8－2r＝－2，即r＝5，∴C＝56，即为所求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．
9．(2021·开封第一次模拟)(x＋)6的开放式中的常数项为________．
[答案]
[解析] 二项式(x＋)6的开放式的通项是Tr＋1＝C·x6－r·()r＝C·2－r·x6－2r，令6－2r＝0得r＝3.因此二项式(x＋)6的开放式中的常数项等于C·()3＝.
三、解答题
10．在二项式n的开放式中，前三项系数的确定值成等差数列．
(1)求开放式的第四项；
(2)求开放式的常数项；
(3)求开放式的各项系数的和．
[解析] 第一项系数的确定值为C，其次项系数的确定值为，第三项系数的确定值为，依题意有C＋＝×2，解得n＝8.
(1)第四项T4＝C()53＝－7x.
(2)通项公式为Tk＋1＝C()8－kk＝Ck·()8－2k，开放式的常数项满足8－2k＝0，即k＝4，所以常数项为T5＝C·4＝.
(3)令x＝1，得开放式的各项系数的和为8＝＝.
一、选择题
1．设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为( )
A．－20 B．20
C．－15 D．15
[答案] A
[解析] 当x>0时，f(x)＝－<0，
∴f[f(x)]＝f(－)＝(－＋)6＝(－)6，开放式中通项为Tr＋1＝C()6－r(－)r＝C(－1)rx3－r，
令r＝3，T4＝C(－1)3＝－20，故选A．
2．在n的开放式中，只有第5项的二项式系数最大，则开放式中常数项是( )
A．－7 B．7
C．－28 D．28
[答案] B
[解析] 由题意可知n＝8，
Tr＋1＝C8－rr＝8－r(－1)rC·x8－r.
∴r＝6，∴2×(－1)6C＝7.
二、填空题
3．(2021·保定调研)若(sinφ＋x)5的开放式中x3的系数为2，则cos2φ＝________.
[答案]
[解析] 由二项式定理得，x3的系数为Csin2φ＝2，
∴sin2φ＝，cos2φ＝1－2sin2φ＝.
4．(2022·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，(1＋)n的开放式为a0＋a1x＋a2x2＋…anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 本题考查二项式定理．
A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)，
∴a0＝1，a1＝3，a2＝4，
即，∴，3a(3a－1)＝8a2，∴a＝3.
三、解答题
5．(1＋2x)n的开放式中第6项与第7项的系数相等，求开放式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解析] T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，
依题意有C·25＝C·26⇒n＝8.
∴(1＋2x)8的开放式中二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4，
设第r＋1项系数最大，
则有，
⇒
⇒⇒⇒5≤r≤6.
又∵r∈N，∴r＝5或r＝6，
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
6．已知在二项式(axm＋bxn)12中，a>0，b>0，mn≠0且2m＋n＝0.
(1)假如在它的开放式中，系数最大的项是常数项，则它是第几项？
(2)在(1)的条件下，求的取值范围．
[解析] (1)设Tk＋1＝C(axm)12－k·(bxn)k
＝Ca12－kbkxm(12－k)＋nk为常数项，
则有m(12－k)＋nk＝0，
即m(12－k)－2mk＝0.
∵m≠0，∴k＝4，∴它是第5项．
(2)∵第5项是系数最大的项，
∴
由①得≤，由②得≥，
∴≤≤.
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