2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第5章-第1讲-平面向量的概念及其线性运算.docx

第1讲 平面对量的概念及其线性运算
一、选择题
1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）
A.a∥b B. a⊥b
C.{0,1,3} D.a+b=ab
答案 B
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若a＋b＝0，则a＝－b.
∴a∥b；
若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不愿定成立．
答案　A
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 (　　)．
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.
答案　A
4．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 (　　)．
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不行能同时在线段AB的延长线上
解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不行能；同理B也不行能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知冲突；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知冲突，故C，D不行能同时在线段AB的延长线上，故D正确．
答案　D
5．已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P确定为三角形ABC的 (　　)．
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．
答案　B
6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的外形是(　　)．
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又与不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
答案　C
二、填空题
7．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ.
即∴p＝－1.
答案　－1
8. 如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
解析　依据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.
答案　4
9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．
解析　＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案　直角三角形
10．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ，
∴λ＝，
∴＝.
答案
三、解答题
11．如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.
解　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)，
＝(a＋b)，＝(a＋b)．
12． (1)设两个非零向量e1，e2不共线，假如＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
(1)证明　由于＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
所以＝＋＝10e1＋15e2.
又由于＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，
又由于，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，
＝2e1＋ke2，
若A，B，D共线，则∥D，
设D＝λ，所以⇒k＝－8.
13． 如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．
解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，
又∵＝，∴＋λ＝，
即λ＝，∴λ＝.
14．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1，
∴＝m＋n＝m＋(1－m)，
即－＝m(－)．
∴＝m，而≠0，且m∈R.
故与共线，又，有公共点B.
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．
即＝λ＋(1－λ).
由＝m＋n.
故m＋n＝λ＋(1－λ).
又O，A，B不共线，∴，不共线．
由平面对量基本定理得
∴m＋n＝1.