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其次章 第六节
一、选择题
1．(文)函数y＝log2x的图像大致是( )
A B C D
[答案] C
[解析] 考查对数函数的图像．
(理)函数f(x)＝2|log2x|的图像大致是( )
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝2|log2x|＝∴选C．
2．(文)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．x D．x2
[答案] C
[解析] 由题意知f(x)＝logax，∴a＝logaa＝，
∴f(x)＝x，故选C．
(理)若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是( )
A．(，b) B．(10a,1－b)
C．(，b＋1) D．(a2,2b)
[答案] D
[解析] 该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．
由题意知b＝lga，
对于A选项，lg＝－lga＝－b≠b，
对B选项lg(10a)＝1＋lga＝1＋b≠1－B．
对C选项lg＝1－lga＝1－b≠b＋1，
对D，lga2＝2lga＝2b，故(a2,2b)在图像上．
3．(2021·营口调研)函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(x1)－f(x2)＝1，则f(x)－f(x)等于( )
A．2 B．1
C． D．loga2
[答案] A
[解析] x1>0，x2>0，f(x)－f(x)＝logax－logax＝2(logax1－logax2)＝2[f(x1)－f(x2)]＝2.
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A． B．10
C．20 D．100
[答案] A
[解析] 由2a＝5b＝m，则a＝log2m，b＝log5m，代入＋＝2得＋＝2，则＋＝2，即＝2，即lgm＝，则m＝.
5．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] ∵2<3<4＝22，∴1<log23<2，∴3<2＋log23<4，
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)
＝log224＝2－log224＝2 log2＝.
6．(文)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2] B．(0，]
C．[，2] D．(0,2]
[答案] C
[解析] 由于a＝－log2a且f(－x)＝f(x)，
则f(log2a)＋f(a)≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)．
又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，选C．
(理)若函数f(x)＝log2(x＋1)且a>b>c>0，则、、的大小关系是( )
A．>> B．>>
C．>> D．>>
[答案] B
[解析] ∵、、可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图像及a>b>c>0可知>>.故选B．
二、填空题
7．(2022·陕西高考)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.
[答案]
[解析] 本题考查指数与对数运算．
4a＝2，∴a＝，lgx＝a＝，
∴x＝.
8．(2021·东营质检)已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图像位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．
[答案] {x|－1<x≤0或x>2}
[解析] 当x≤0时，由3x＋1>1，得x＋1>0，即x>－1.
∴－1<x≤0.
当x>0时，由log2x>1，得x>2.
∴x的取值范围是{x|－1<x≤0或x>2}．
9．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] (等价转化法)令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x>0的单调减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的单调减区间是(－∞，0)．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断f(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
则解得－1<x<1.
故所求定义域为{x|－1<x<1}．
(2)f(x)为奇函数．
证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且
f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
(3)由于当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}上是增函数，所以f(x)>0⇔>1.
解得0<x<1.
所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|0<x<1}.
一、选择题
1．(2022·四川高考)已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式确定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
[答案] B
[解析] B 本题考查指对互化、指对运算性质等．可逐项验证．A中，d＝log510，而ac＝log5b·lgb＝·lgb＝，∴A错．B中，cd＝lgb·log510＝lgb·＝＝log5b＝a，选B．解题时要机敏应用换底公式等．
2．(文)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A． B．
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵y＝ax与y＝loga(x＋1)具有相同的单调性．
∴f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，
∴f(0)＋f(1)＝a，即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，
化简得1＋loga2＝0，解得a＝.
(理)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则( )
A．x<y<z B．z<x<y
C．z<y<x D．y<z<x
[答案] D
[解析] 本小题主要考查了对数、指数的性质的运用．
∵y＝log52＝，z＝e－＝且<2<log25
∴y<z<1，又lnπ>1，∴y<z<x，故选D．
二、填空题
3．已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，则log的值为________．
[答案] 2
[解析] 依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，
即xy＝4x2－12xy＋9y2，
整理得4()2－13()＋9＝0，
解得＝1或＝.
∵x>0，y>0,2x－3y>0，
∴＝，
∴log＝2.
4．(2022·兰州、张掖联考)函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间[1,2021]内这样的企盼数共有________个．
[答案] 9
[解析] ∵logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝···…·＝＝log2(k＋2)．
∵1 024＝210,2 048＝211，且log24＝2，∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10－1＝9个．
三、解答题
5．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是x的削减的，若存在，求a的取值范围．
[分析] 参数a既毁灭在底数上，又毁灭在真数上，应全面端详对a的取值范围的制约．
[解析] ∵a>0，且a≠1，
∴u＝2－ax是x的减函数．
又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]是削减的，
∴函数y＝logau是u的增函数，且对x∈[0,1]时，
u＝2－ax恒为正数．
其充要条件是 即1<a<2.
∴a的取值范围是(1,2)．
6．(文)已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；
(2)求f(24)的值．
[解析] (1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，
∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，
∴f(x)＝－x＋1.
(2)∵24＝－log224∈(－5，－4)，
∴24＋4∈(－1,0)，
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(24)＝f(24＋4)
＝－24＋4＋1＝－24×＋1＝－.
(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；
(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)．
[解析] (1)∵f(x)＝x2－x＋b，
∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，
由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，
∴log2a(log2a－1)＝0.
∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.
∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.
故f(x)＝x2－x＋2.
从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意
⇒⇒0<x<1.
∴x的取值范围为(0,1)．
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