2021高考数学(文理通用)一轮课时作业45-双曲线.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十五)双曲线(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.(2022金华模拟)设P是双曲线x216-y220=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选B.由双曲线定义|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应留意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,所以|PF2|=17.2.(2022温州模拟)已知双曲线的渐近线方程为y=3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则该双曲线的方程为()A.x28-y224=1B.x212-y24=1C.x224-y28=1D.x24-y212=1【解析】选D.由于双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),所以c2=16,因此选项A,C错误,又由于双曲线的渐近线方程为y=3x,所以选项B错误.3.(2021福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C.1D.2【解析】选B.取一顶点(1,0),一条渐近线x-y=0,d=12=22,故选B.4.(2021北京高考)双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是()A.m12B.m1C.m1D.m2【思路点拨】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e=ca=1+m2,所以m1.5.(2022嘉兴模拟)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是()A.19B.125C.15D.13【解析】选A.由于M到其焦点的距离为5,所以1+p2=5,所以p=8,所以M(1,4),又A(-a,0),由题意知1a=41+a,所以a=19.6.(2022台州模拟)已知F1,F2为双曲线C:x29-y216=1的左、右焦点,点P在曲线C上,|PF1|=3|PF2|,则cosF1PF2=()A.527B.-527C.-725D.725【解析】选B.如图,依题意知:|PF1|-|PF2|=6,又由于|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=9,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=10,在F1PF2中,由余弦定理得:cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=92+32-102293=-527.7.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为()A.233B.33C.2D.1【解析】选A.由于双曲线的离心率为2,所以ca=2,即c=2a,c2=4a2.又由于c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=3a,因此b2+13a=3a2+13a=a+13a213=233,当且仅当a=13a时等号成立.即b2+13a的最小值为233.8.(2021重庆高考)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.233,2B.233,2C.233,+D.233,+【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率ba必需满足33ba3,所以13ba23,431+ba24,即有2331+ba22.又双曲线的离心率为e=ca=1+ba2,所以2330,b0).则:(1)当ab0时,双曲线的离心率满足1e0时,e=2(亦称为等轴双曲线).(3)当ba0时,e2.二、填空题(每小题6分,共24分)9.(2021湖南高考)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1PF2,且PF1F2=30,则C的离心率为.【解析】如图,因PF1PF2,且PF1F2=30,故|PF2|=12|F1F2|=c,则|PF1|=3c,又由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即3c-c=2a,故ca=23-1=3+1.答案:3+110.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由于A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF|=2a=4.而|PA|+|PF|AF|=5.两式相加得|PF|+|PA|9,当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立.答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.11.设圆C的圆心与双曲线x2a2-y22=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-3y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为.【解析】由题知圆心C(a2+2,0),双曲线的渐近线方程为2xay=0,圆心C到渐近线的距离d=2a2+22+a2=2,即圆C的半径长为2.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为2,可知圆心C到直线l的距离为1,即a2+21+3=1a=2.答案:2【加固训练】已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为52,则该双曲线的渐近线斜率为.【解析】由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线x2a2-y2b2=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5.又由e=ca=c5=52,可解得c=552,则b2=c2-a2=254,即b=52.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=ba=12.答案:1212.(2022石家庄模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为.【解析】焦点(c,0)到渐近线y=bax的距离为bca2+b2=b,则由题意知b=2a,又a2+b2=c2,所以5a2=c2,所以离心率e=ca=5.答案:5【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=1+ba2求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,查找a与c的关系式,然后求解.三、解答题(每小题14分,共28分)13.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且BF与FA同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=14m,tanAOF=ba,tanAOB=tan2AOF=ABOA=43,由倍角公式,得2ba1-ba2=43,解得ba=12,则离心率e=52.(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=-ab(x-c),与双曲线方程x2a2-y2b2=1联立,将a=2b,c=5b代入,化简有154b2x2-85bx+21=0,4=1+ab2|x1-x2|=1+ab2(x1+x2)2-4x1x2,将数值代入,有4=5325b152-428b25,解得b=3,故所求的双曲线方程为x236-y29=1.14.(2021天津模拟)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,坐标原点到直线AB的距离为32,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程.(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求B1MB1N时,直线MN的方程.【解析】(1)设直线AB:xa-yb=1,由题意,ba=3,aba2+b2=32,所以a=3,b=3,所以双曲线方程为x23-y29=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.设直线MN:y=kx-3,所以y=kx-3,3x2-y2=9,所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,所以x1+x2=6kk2-3,y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3,x1x2=18k2-3,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.由于B1M=(x1,y1-3),B1N=(x2,y2-3),B1MB1N=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即18k2-3+9-54k2-3+9=0,解得k2=5,所以k=5代入有解,所以lMN:y=5x-3.【加固训练】(力气挑战题)已知双曲线y212-x213=1的上焦点为F,M(x0,y0)为其上支上的任意一点.(1)证明:|MF|=536y0-23.(2)若双曲线上支上的三点A(x1,y1),B(26,6),C(x2,y2)到F的距离成等差数列,求y1+y2的值.(3)证明线段AC的垂直平分线经过某一个定点,并求这确定点的坐标.【解析】(1)由于c2=12+13=25,故F(0,5),点M(x0,y0)在双曲线的上支上,故x02=13y0212-1且y023,|MF|=x02+(y0-5)2=1312y02-13+y02-10y0+25=2512y02-245y0+12225=2512y0-1252=536y0-125.由于y023,所以|MF|=536y0-125=536y0-23.(2)由(1)得|AF|=536y1-23,|BF|=5366-23,|CF|=536y2-23.由于|AF|+|CF|=2|BF|,所以y1+y2=12.(3)设A,C的中点为N(x0,y0),由(2)知y0=6,故N(x0,6).由于A,C都在双曲线上,所以13y12-12x12=156,13y22-12x22=156,两式相减得13(y1-y2)(y1+y2)=12(x1-x2)(x1+x2),所以kAC=y1-y2x1-x2=2x013,故得AC的垂直平分线的方程是y-6=-132x0(x-x0),即y=-132x0x+252,所以线段AC的垂直平分线经过定点0,252.关闭Word文档返回原板块