2021高考数学(文理通用)一轮课时作业45-双曲线.docx

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课时提升作业(四十五)
双　曲　线
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题6分,共48分)
1.(2022·金华模拟)设P是双曲线x216-y220=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(　　)
A.1 B.17
C.1或17 D.以上答案均不对
【解析】选B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,
又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,
但应留意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.
2.(2022·温州模拟)已知双曲线的渐近线方程为y=±3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则该双曲线的方程为(　　)
A.x28-y224=1 B.x212-y24=1
C.x224-y28=1 D.x24-y212=1
【解析】选D.由于双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),所以c2=16,
因此选项A,C错误,又由于双曲线的渐近线方程为y=±3x,
所以选项B错误.
3.(2021·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.12 B.22 C.1 D.2
【解析】选B.取一顶点(1,0),一条渐近线x-y=0,d=12=22,故选B.
4.(2021·北京高考)双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是(　　)
A.m>12 B.m≥1
C.m>1 D.m>2
【思路点拨】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.
【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e=ca=1+m>2,所以m>1.
5.(2022·嘉兴模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是(　　)
A.19 B.125 C.15 D.13
【解析】选A.由于M到其焦点的距离为5,所以1+p2=5,所以p=8,所以M(1,4),又A(-a,0),由题意知1a=41+a,所以a=19.
6.(2022·台州模拟)已知F1,F2为双曲线C:x29-y216=1的左、右焦点,点P在曲线C上,|PF1|=3|PF2|,则cos∠F1PF2=(　　)
A.527 B.-527 C.-725 D.725
【解析】选B.如图,依题意知:
|PF1|-|PF2|=6,
又由于|PF1|=3|PF2|,
所以|PF1|=9,|PF2|=3.
又|F1F2|=2c=10,
在△F1PF2中,由余弦定理得:
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|
=92+32-1022×9×3=-527.
7.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则b2+13a的最小值为(　　)
A.233 B.33 C.2 D.1
【解析】选A.由于双曲线的离心率为2,所以ca=2,
即c=2a,c2=4a2.
又由于c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=3a,
因此b2+13a=3a2+13a=a+13a≥213=233,当且仅当a=13a时等号成立.即b2+13a的最小值为233.
8.(2021·重庆高考)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.233,2 B.233,2
C.233,+∞ D.233,+∞
【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率ba必需满足33<ba≤3,所以13<ba2≤3,43<1+ba2≤4,即有233<1+ba2≤2.又双曲线的离心率为e=ca=1+ba2,所以233<e≤2.
【误区警示】本题极易漏掉ba≤3,其缘由是对问题考虑不全,造成漏解.
【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧
已知双曲线x2a2+y2b2=1(a>0,b>0).
则:(1)当a>b>0时,双曲线的离心率满足1<e<2.
(2)当a=b>0时,e=2(亦称为等轴双曲线).
(3)当b>a>0时,e>2.
二、填空题(每小题6分,共24分)
9.(2021·湖南高考)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为　　　　.
【解析】如图,因PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,
故|PF2|=12|F1F2|=c,则|PF1|=3c,
又由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,
即3c-c=2a,故ca=23-1=3+1.
答案:3+1
10.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是　　　　.
【解析】由于A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立.
答案:9
【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法
与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.
11.设圆C的圆心与双曲线x2a2-y22=1(a>0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-3y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为　　　　.
【解析】由题知圆心C(a2+2,0),双曲线的渐近线方程为2x±ay=0,圆心C到渐近线的距离d=2×a2+22+a2=2,即圆C的半径长为2.
由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为2,可知圆心C到直线l的距离为1,即a2+21+3=1⇒a=2.
答案:2
【加固训练】
已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为52,则该双曲线的渐近线斜率为　　　　.
【解析】由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线x2a2-y2b2=1的一个顶点坐标为(5,0),
即得a=5.
又由e=ca=c5=52,可解得c=552,
则b2=c2-a2=254,即b=52.
由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±ba=±12.
答案:±12
12.(2022·石家庄模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为　　　　.
【解析】焦点(c,0)到渐近线y=bax的距离为bca2+b2=b,则由题意知b=2a,又a2+b2=c2,所以5a2=c2,所以离心率e=ca=5.
答案:5

【方法技巧】双曲线离心率的求解方法
(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.
(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=1+ba2求解.
(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,查找a与c的关系式,然后求解.
三、解答题(每小题14分,共28分)
13.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|OA→|,|AB→|,|OB→|成等差数列,且BF→与FA→同向.
(1)求双曲线的离心率.
(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,
由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,
得d=14m,tan∠AOF=ba,
tan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=43,
由倍角公式,得2×ba1-ba2=43,解得ba=12,
则离心率e=52.
(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=-ab(x-c),与双曲线方程x2a2-y2b2=1联立,将a=2b,c=5b代入,
化简有154b2x2-85bx+21=0,
4=1+ab2|x1-x2|
=1+ab2[(x1+x2)2-4x1x2],
将数值代入,有4=5325b152-4·28b25,
解得b=3,故所求的双曲线方程为x236-y29=1.
14.(2021·天津模拟)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,坐标原点到直线AB的距离为32,其中A(a,0),B(0,-b).
(1)求双曲线的方程.
(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求B1M→⊥B1N→时,直线MN的方程.
【解析】(1)设直线AB:xa-yb=1,由题意,
ba=3,aba2+b2=32,所以a=3,b=3,
所以双曲线方程为x23-y29=1.
(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.
设直线MN:y=kx-3,
所以y=kx-3,3x2-y2=9,所以3x2-(kx-3)2=9,
整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①
所以x1+x2=6kk2-3,
y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3,
x1x2=18k2-3,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.
由于B1M→=(x1,y1-3),B1N→=(x2,y2-3),
B1M→·B1N→=0,
所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,
即18k2-3+9-54k2-3+9=0,
解得k2=5,所以k=±5代入①有解,
所以lMN:y=±5x-3.
【加固训练】(力气挑战题)已知双曲线y212-x213=1的上焦点为F,M(x0,y0)为其上支上的任意一点.
(1)证明:|MF|=536y0-23.
(2)若双曲线上支上的三点A(x1,y1),B(26,6),C(x2,y2)到F的距离成等差数列,求y1+y2的值.
(3)证明线段AC的垂直平分线经过某一个定点,并求这确定点的坐标.
【解析】(1)由于c2=12+13=25,故F(0,5),点M(x0,y0)在双曲线的上支上,
故x02=13y0212-1且y0≥23,
|MF|=x02+(y0-5)2
=1312y02-13+y02-10y0+25
=2512y02-245y0+12225=2512y0-1252
=536y0-125.
由于y0≥23,
所以|MF|=536y0-125=536y0-23.
(2)由(1)得|AF|=536y1-23,
|BF|=536×6-23,
|CF|=536y2-23.
由于|AF|+|CF|=2|BF|,所以y1+y2=12.
(3)设A,C的中点为N(x′0,y′0),
由(2)知y′0=6,故N(x′0,6).
由于A,C都在双曲线上,
所以13y12-12x12=156,13y22-12x22=156,
两式相减得13(y1-y2)(y1+y2)
=12(x1-x2)(x1+x2),
所以kAC=y1-y2x1-x2=2x'013,
故得AC的垂直平分线的方程是y-6=-132x'0(x-x′0),即y=-132x'0x+252,
所以线段AC的垂直平分线经过定点0,252.
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