【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第8章-第8节-曲线与方程(理).docx

第八章第八节一、选择题1方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线B两条射线C两条线段D一条直线和一条射线答案D解析原方程化为或10，2x3y10(x3)或x4，故选D2长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，2，则点C的轨迹是()A线段B圆C椭圆D双曲线答案C解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，则把代入式整理可得：x2y21.故选C点评关于轨迹方程的问题(1)定义法求轨迹方程设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内确定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A1B1C1D1答案D解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|.|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，(5|AC|)a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.故选D若点P到直线y2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案D解析由条件知，点P到直线y1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，P点轨迹是以A为焦点，直线y1为准线的抛物线(2021湘潭模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一动点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆答案A解析由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程分析设动圆M的半径为r，则|MC1|rr1，|MC2|rr2，则|MC1|MC2|r1r2定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程解析如图，设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|r，|MC2|r.|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，20，定义运算“*”，x1x*a)的轨迹是()A圆B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分答案D解析x1x*a)2，则P(x,2)设P(x1，y1)，即，消去x得，y4ax1(x10，y10)，故点P的轨迹为抛物线的一部分故选D已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()答案A解析由log2x，log2y,2成等差数列得2log2ylog2x2y24x(x0，y0)，故选A(2022广州模拟)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x2)Dx2y24(x2)答案D(2022上海徐汇一模)在平面直角坐标系中，动点P和点M(2,0)，N(2,0)满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为_答案y28x解析由题意可知(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，由|0，可知44(x2)0，化简，得y28x.(3)代入法求轨迹方程动点A在圆x2y21上移动，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21Dy2答案C解析设中点M(x，y)，则动点A(2x3,2y)，A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21，故选C平面直角坐示系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线答案A解析设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1，3)，12，解得又121，x2y50，表示一条直线设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_答案x24y21解析设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x24y21，即为所求如右图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程分析直接求P的轨迹方程不好找关系，可利用Q，P，N三者之间的对称关系及直线的垂直关系求解解析设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2xx1,2yy1)点N在直线xy2上，2xx12yy12，又PQ垂直于直线xy2，1.即xyy1x10.由、联立，解得又Q在双曲线x2y21上，xy1，即(xy1)2(xy1)21整理得2x22y22x2y10，这就是所求动点P的轨迹方程3.(2022山东青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A5B6C7D8答案B解析由题意可知，p4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，4)，QN：y4，直线QN，MN关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于y轴解得N(6，4)，故x0等于6.故选B4(2022北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()Ayx(1x)(0x1)Bxy(1y)(0y1)Cyx2(0x1)Dy1x2(0x1)答案A解析设D(0，)，E(1,1)(01)，所以线段AD方程为yx(0x1)，线段OE方程为y(1)x(0x1)，联立方程组(为参数)，消去参数得点G的轨迹方程为yx(1x)(0x1)，故A正确5(2022合肥模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A，B2,2C1,1D4,4答案C规范解答由题意得Q(2,0)设l的方程为yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4k20，当k0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k0时，16(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，综上1k1.6(2022河南开封其次次模拟)已知双曲线M：1和双曲线N：1，其中ba0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率是()ABCD答案A解析解方程组得x2，由c2，化简得10.所以，e.二、填空题7P是椭圆1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_答案1解析设F1(c,0)，F2(c,0)，Q(x，y)，P(x1，y1)，(cx1，y1)，(cx1，y1)，(x，y)，由得，代入椭圆方程1中得，1.8(2022北京模拟)ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_答案1(x3)9已知A、B分别是直线yx和yx上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为_答案y21解析设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)P是线段AB的中点，A、B分别是直线yx和yx上的点，y1x1和y2x2.代入中得，又|2，(x1x2)2(y1y2)212.12y2x212，动点P的轨迹C的方程为y21.三、解答题10如图所示，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x1)2y216上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在线段AN上，且0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)试推断以PB为直径的圆与圆x2y24的位置关系，并说明理由解析(1)点M是BN中点，又0，PM垂直平分BN，|PN|PB|，又|PA|PN|AN|，|PA|PB|4，由椭圆定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆设椭圆方程为1，由2a4,2c2可得，a24，b23.可得动点P的轨迹方程为1.(2)设PB中点为C，则|OC|AP|(|AN|PN|)(4|PB|)2|PB|.两圆内切一、解答题11(2021宁夏育才中学模拟)已知平面上确定点C(1,0)和确定直线l：x4，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，(2)(2)0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若(1)，求的取值范围解析(1)由(2)(2)0，得2420.设P(x，y)，则(x4)24(x1)2y20，化简得1，即点P在椭圆上，其方程为1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，(1)，0，(x11，y1)(x21，y2)0，由于1，所以1，又由于1，所以2，由得12，化简得x2.由于2x22，所以22，解得3，所以的取值范围为，312(2022大纲全国理)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解析(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得，y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E(2m23，)|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2(2m)2(2)2化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.13(2022江西鹰潭二模)如图，A(m，m)，B(n，n)两点分别在射线OS，OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设Q(x0，)，过Q作(1)中曲线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点；若7，求x0的值解析(1)由已知得3mnmn，得mn.设点P坐标为(x，y)(y0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(nm)，mn)消去m，n，可得y21(y0)，轨迹C的方程为y21(y0)(2)由(1)知，y，即y.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kQM，kQN.lQM：y(xx1)y1，即lQM：x1x3y1y30.Q在直线QM上，x0x1y130，同理可得x0x2y230.由可知，lMN：x0xy30，直线MN过定点(0,2)由以上可知，设直线MN的方程为ykx2，易知k，且|k|2，依据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.